2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第3讲圆的方程

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.第3讲圆的方程基础诊断考点突破课堂总结1．圆的定义和圆的方程知识梳理定义平面内到_____的距离等于_____的点的轨迹叫做圆圆心C(a，b)标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)半径为r充要条件：_________________圆心坐标：__________方程一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0半径r＝12D2＋E2－4F定点定长D2＋E2－4F＞0－D2，－E2基础诊断考点突破课堂总结2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在____；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在_____；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在_____．圆外圆上圆内基础诊断考点突破课堂总结(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示√××√基础诊断考点突破课堂总结解析由题意知，(|x|－1)2＋(y－1)2＝1又|x|－1≥0，即x≥1或x≤－1，故表示两个半圆．答案D2．方程|x|－1＝1－y－12所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆基础诊断考点突破课堂总结3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.答案A基础诊断考点突破课堂总结4．(人教A必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10基础诊断考点突破课堂总结5．(2014·山东卷)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．解析因为圆心在直线x－2y＝0上，且圆C与y轴相切，所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2＝a2＋(3)2，解得a＝±1.又圆C与y轴的正半轴相切，所以a＝1，故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案(x－2)2＋(y－1)2＝4基础诊断考点突破课堂总结考点一圆的方程的求法【例1】(1)经过点P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为________．(2)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④由①，②，④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.基础诊断考点突破课堂总结深度思考第(2)小题常规解法有两种：一是待定系数法；二是几何法，作为选择题的解法也可以采用验证解答．(2)法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．设圆心坐标为(a，－a)，则|a－－a|2＝|a－－a－4|2，即|a|＝|a－2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝22＝2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.基础诊断考点突破课堂总结法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝42＝22；圆心是直线x＋y＝0被这两条平行线所截线段的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是(0,0)，与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求圆的圆心坐标是(1，－1)，所求圆C的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法三作为选择题也可以验证解答．圆心在x＋y＝0上，排除选项C，D，再验证选项A，B中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可．答案(1)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．基础诊断考点突破课堂总结【训练1】过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．解析法一由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得x＝3，y＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝4－32＋1－02＝2，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.基础诊断考点突破课堂总结法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故4－a2＋1－b2＝r2，2－a2＋1－b2＝r2，又∵b－1a－2＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝2，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案(x－3)2＋y2＝2基础诊断考点突破课堂总结考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.基础诊断考点突破课堂总结当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.基础诊断考点突破课堂总结(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.基础诊断考点突破课堂总结规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．基础诊断考点突破课堂总结【训练2】已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2，12(4－5)B．12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－5D．12(5＋2)，12(5－2)基础诊断考点突破课堂总结解析如图，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝45，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1，又|AB|＝5，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.答案B基础诊断考点突破课堂总结考点三与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．基础诊断考点突破课堂总结解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.基础诊断考点突破课堂总结规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，基础诊断考点突破课堂总结故x2＝x0－32，y2＝y0＋42.从而x0＝x＋3，y0＝y－4.又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上时的情况)．基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．基础诊断考点突破课堂总结[易错防范]1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.