华中师范大学数学分析期末考试试题

1/3数学分析期末考试试题一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、牛顿-莱不尼兹公式2、1nna收敛的cauchy收敛原理3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sinlimxdttxx2、求由曲线2xy和2yx围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求1)1(nnnnx的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zyxu，求yxu2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数1!nnnn2、讨论反常积分01dxexxp的敛散性3、讨论函数列),(1)(22xnxxSn的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01nnxxxnnn，证明1nnx发散2、证明函数000),(222222yxyxyxxyyxf在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，2/3参考答案一、1、设)(xf在连续，)(xF是)(xf在],[ba上的一个原函数，则成立)()()(aFbFdxxfba2、,0.0N使得Nnm，成立mnnaaa213、设2RD为开集，],[baDyxyxfz),(),,(是定义在D上的二元函数，),(000yxP为D中的一定点，若存在只与点有关而与yx,无关的常数A和B，使得)(22yxoyBxAz则称函数f在点),(000yxP处是可微的，并称yBxA为在点),(000yxP处的全微分资料个人收集整理，勿做商业用途二、1、分子和分母同时求导316sin2limsinlim54060202xxxxdttxxx（8分）2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(102dxxx（3分）所求的体积为：103)(105dxxx（3分）3、解：设1)1()(nnnnxxf，1)1(1)2)(1(1limnnnnn，收敛半径为1，收敛域[-1，1]（2分）),10(),1ln(11)1()(121'xxxxnxxfnn)10(),1ln(11)()(0'xxxxdttfxfx(3分）x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分）4、解：yu=zxxzyln（3分）yxu2zxxxxzyzy1ln1(5分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）资料个人收集整理，勿做商业用途3/311)111(lim!)1()!1(limennnnnnnnnn（4分）由D’Alembert判别法知级数收敛（1分）2、解：1110101dxexdxexdxexxpxpxp（2分），对101dxexxp，由于)0(111xexxxpp故p0时101dxexxp收敛（4分）；11dxexxp，由于)(012xexxxp（4分）故对一切的p11dxexxp收敛，综上所述p0，积分收敛资料个人收集整理，勿做商业用途3、解：221)(nxxSn收敛于x（4分）0)(suplim),(xxSnxn所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：11123221213423nnnxxxxxxxxnnn)2(,112nxnxn（6分）211nn发散，由比较判别法知级数发散（4分）2、证明：||||022xyyxxy（4分）22)0,0(),(limyxxyyx=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又00lim0xx，)0,0(),0,0(yxff存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(limyxyxyx不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）资料个人收集整理，勿做商业用途