北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案(无答案)

北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）1/12第一二三单元复习一：第一单元1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an=am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap=am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学校整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数）这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．2．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．3．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an=am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．5．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）2/126．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．7．整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．例题讲解例1．计算：（﹣a2）3（）A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5选B．例2．下列算式正确的是（）A．2x2+3x2=5x4B．2x2•3x3=6x5C．（2x3）2=4x5D．3x2÷4x2=34x2选：B．例3．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或﹣3选D．例4．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab选：A．北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）3/12例5．若a2n=4，b2n=16，则（ab）n=8．例6．用乘法公式计算（1）998×1002；（2）（3a+2b﹣1）（3a﹣2b+1）【解答】解：（1）原式=（1000﹣2）（1000+2）=10002﹣22=1000000﹣4=999996（2）（3a）2﹣（2b﹣1）2=9a2﹣4b2+4b﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．例7．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．二：第二单元1．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．例题讲解例1．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）4/12A．132°B．134°C．136°D．138°故选B．例2．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°故选：C．例3．如图，已知AB∥CD，∠α=85°．例4．如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2=32°．例5．如图，直线AB与CD相交于O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠DOF=90°．（1）图中与∠EOF互余的角是∠EOD，∠EOB；（2）求∠EOF的度数．【解答】解：（1）∠EOD，∠EOB．∵∠DOF=90°，∴∠EOD与∠EOF互余，∵OE平分∠BOD，∴∠EOD=∠EOB，∴∠EOB与∠EOF互余，∴与∠EOF互余的角是∠EOD，∠EOB，故答案为：∠EOD，∠EOB；（2）∵∠BOD与∠AOC互为对顶角，∴∠BOD=∠AOC，北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）5/12∵∠AOC=70°，∴∠BOD=70°，∵OE平分∠BOD∴∠EOD=12∠BOD=35°，∵∠DOF=90°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠EOD=90°﹣35°=55°．【点评】本题主要考查了角平分线的性质及定义和互余的定义，利用角平分线的性质是解答此题的关键．例6．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°．（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．【解答】解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=12∠AOM=12×90°=45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°，即∠AOD的度数为135°；（2）∵∠BOC=4∠NOB∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB﹣∠BON=4x°﹣x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，∵∠BOM=32x+x=90°，∴x=36°，∴∠MON=32x°=32×36°=54°，即∠MON的度数为54°．三：第三单元1．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．2．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化例题讲解北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）6/12例1．一根80厘米的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米．（1）填写下表：所挂物体的质量（千克）1234…弹簧的总长度（厘米）82848688…（2）写出弹簧总长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的数量关系．（3）若在这根弹簧上挂上某一物体后，弹簧总长为96厘米，求所挂物体的质量？【解答】解：（1）所挂物体的质量（千克）1234…弹簧的总长度（厘米）82848688…故答案为：82，84，86，88（2）弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，得y=2x+80，（3）当y=96时，2x+80=96，解得x=8，答：所挂重物的质量是8千克．【点评】本题考查了函数解析式，利用了弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度．例2．为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：汽车行驶时间t（h）0123…油箱剩余油量Q（L）100948882…（1）根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？【解答】解：（1）Q=100﹣6t；（2）当t=5时，Q=100﹣6×5=70，答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是70L；（3）当Q=50时，50=100﹣6t6t=50，解得：t=253，100×253=25003km．答：该车最多能行驶25003km；达标测试：1．下列计算正确的是（）A．a3÷a2=aB．（﹣2a2）3=8a6C．2a2+a2=3a4D．（a﹣b）2=a2﹣b2故选：A．2．下列运算正确的是（）A．2x•3x2=6x2B．x6÷x2=x3C．（x﹣y）2=x2﹣y2D．﹣x（x﹣y）=﹣x2+xy故选：D．3．35•（﹣3）4=39．（﹣12）2•（﹣2）3=﹣2．4．若ax=2，ay=3，则a2x+y=12．5．先化简，再求值．（1）5x（2x+1）﹣（2x+3）（5x﹣1），其中x=2．（2）（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=3，b=﹣13．北师大七年级下册数学-第一二三章复习学案（无答案）7/12【解答】解：（1）原式=10x2+5x﹣10x2+2x﹣15x+3=﹣8x+3，当x=2时，原式=﹣16+3=﹣13；（2）原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab，当a=3，b=﹣13时，原式=