【量子物理】3原子中的电子

原子中的电子2005年秋季学期第3章陈信义编§3.2氢原子的量子力学处理§3.3电子自旋与自旋轨道耦合§3.5各种原子核外电子的排布§3.4微观粒子的不可分辨性泡利不相容原理目录§3.6X射线§3.7激光简介§3.1轨道角动量2222sin1sinsin1ˆ2L（1）角动量平方算符代表角动量大小（2）角动量在z轴投影代表角动量取向iLzˆzxy电子云L·Lz§3.1轨道角动量一、用两个算符表达llllmlYmYLYllYLlmlmzlmlm2,1,,0,,1,;,2,1,0),(),(ˆ),()1(),(ˆ2是和的共同本征波函数：),(lmY2ˆLzLˆ正交、归一化条件：mmllmllmYY),(),(dsind200*iiieYeYeYYYY222211121022000sin3215sin83cossin815cos43)1cos3(15541当l=0,1,2时的球谐函数：immllmeNPY)(cos),(L0zLz22）（B二、角动量的空间量子化（spacequantization）角动量的大小为：，)1(llLl=0,1,2,3,…由于，mLz角动量在空间的取向只有（2l+1）种可能性，L因而其空间的取向是量子化的。6)12(2L2,,0zL只有五种可能的取向。Ll=2，例如：2,1,0m对z轴旋转对称ˆzzLLd)(dzLi通解为zLiAe)()()(ddzLi【例】求解的本征值问题。zLˆ下面用波函数所满足的条件，定特解。…，，，210,mmLz)(应该单值：π)2(zzLiLiee1π2zLieπ2zzLiLieeπ22mLzimimeAe21)(本征值：本征波函数：归一化因子【思考】设某体系绕对称轴转动（平面转子），转动惯量为I，求该体系的转动能量和波函数。A即由此得来。。红蓝紫6562.8Å4340.5Å4861.3ŧ3.2氢原子的量子力学处理一、氢原子光谱的实验规律氢原子的可见光光谱：。‥1853年瑞典人埃格斯特朗（A.J.Angstrom）测得氢可见光光谱的红线，到1885年，观测到的氢原子光谱线已有14条。赖曼系（紫外区）巴耳末系(可见区)帕邢系(红外区)布喇开系氢原子能级和能级跃迁图：-13.6eV-3.39eV-1.81eV-0.85eVEnn121EnEneV6.132n由能级算出的光谱线频率和实验结果完全一致。126534hEEfi二、氢原子的量子力学处理用薛定谔方程求解氢原子中电子的能级和本征波函数，是量子力学创立初期最令人信服的成就。质子的质量比电子的质量大的多，在氢原子中可近似认为质子静止而电子运动，因此电子的能量就代表整个氢原子的能量。电子受质子的库仑力作用，势能函数为rerU024)(由于求解过程比较复杂，下面只介绍求解的思路和步骤，列出结果并讨论物理意义。在以质子的位置为原点的直角坐标系中，电子的能量本征方程为ErUzyx)(22222222写成球坐标系中的形式ErLrerrrr22202222ˆ42其中为轨道角动量平方算符。其本征值问题的解是已知的。2ˆL),()1(),(ˆ22lmlmYllYL0)()1(40222rRllreErrrr22),()(YrR分离变量，设，代入，得两个方程：径向方程，可解出能量本征值En和Rnl(r)。的本征方程，本征值2ˆL,2,1,0,)1(22lllL)1(llL“角动量的大小”球谐函数,3,2,1)eV(16.131322222024nnneEn本征波函数：与实验结果完全符合！n主量子数，llllmnlnYrRrlmnlnlm,1,,0,,1,1,,2,1,0,3,2,1),()(),,(1、氢原子的能级和本征波函数l角量子数，m磁量子数。球谐函数能级：ararararararearaRearaRearaRearaReararaReaR32233222321323312232032233023103081462161627821212723213322当n=1,2,3时的Rnl：nm05.04220ea称为玻尔半径。其中4、电子的概率分布ddddsin,()(),,(2222rrYrRVrlmnlnlm电子出现在体积元dV中的概率为：ddddsindd22rrrrVddsind：(,)方向立体角元22)()(rrRrWnlnl•电子沿径向的概率密度为•电子出现在(,)方向附近单位立体角元中的概率为2),(),(lmlmYWarWnl电子沿径向的概率密度Wnl(r)基态激发态基态（groundstate）：—玻尔半径电子出现在r=a的单位厚度球壳层内的概率最大。n=1,l=0nm05.04220eaar22nlRrP1001电子概率密度角分布Wlm(,f)41),(00Y200Y210Y220Y211Y212Y222Y5、量子数小结（1）主量子数eV16.132nEn（2）轨道角量子数l=0,1,2,…,(n1)，)1(llL的大小LmLz（3）轨道磁量子数，lm,2,1,0决定的空间取向；L的z分量Ln=1,2,3,…决定能量决定角动量的大小§3.3电子自旋与自旋轨道耦合一、斯特恩—盖拉赫(Stern-Gerlach)实验1、角动量和磁矩的关系r-e,mezLzvLBiz●Le1922年为验证角动量空间量子化而进行此实验。LLeri2πLeeervmme2Lererv2ππ2Lmee2zezLme2mmee2mmee22、磁矩在磁场中受力—玻尔磁子BohrmagnetoneBme2令电子轨道磁矩的取向是量子化的,2,1,0mmBz，J/T1027.924Fzz原子射线zBz●磁矩在磁场中的能量zBzEFzzzzBmzBBEzF也是分立的。受力3、施特恩—盖拉赫实验加磁场不加磁场加热炉基态（L=0）银原子射线不均匀磁场银原子沉积Fz基态，轨道L=0，m=0zBmFzBz0zBmFzBz银原子束不应分裂。电子还具有其它磁矩！斯特恩正在观测银原子束通过非均匀的磁场时，分裂成了两束4、施特恩—盖拉赫实验的意义原子沉积层不是连续一片，而是分开的线，(2)发现了新的矛盾l=0，应有一条沉积线。(3)提供了原子的“态分离”技术，至今仍适用。(1)证明了空间量子化的存在实验结果却有两条沉积线，这说明原来对原子中电子运动的描述是不完全的。说明角动量空间量子化的存在。二、电子自旋（electronspin）emm核e核核的影响很小1925年乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和古兹电子不是质点，有固有的自旋角动量S。S应的自旋磁矩Ss电子带负电，磁矩的方和相提出了大胆的假设：米特（S.Goudsmit）根据施—盖实验的事实，向和自旋的方向应相反。和朝下两种取向。SS这一经典图象若把电子视为r=10-16m的小球，算出的电子表面速度c!面对按经典图象理解所给出的“荒谬”结果，乌、古二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，相对于外磁场方向（z），S有朝上zB按S估受到了泡利的责难。“Youarebothyoungenoughtoallowyourselvessomefoolishness!”但他们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励道：lzmL，)1(llLSzmS自旋角动量也应有，)1(ssSs—自旋量子数，mS—自旋磁量子数可给出自旋角动量的量子化：l=0,1,2…(n1)lml,210,…，，，自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍轨道角动量类比轨道角动量的量子化，然和角动量有关。类似ml有2l+1种取法，mS应有2s+1种取法。施—盖实验表明：212s21s23)1(ssS21SzmS2121，Sm电子自旋是一种“内禀”运动，不是小球自转。212ssBszmm，自旋磁矩：Bzs,三、电子的自旋轨道耦合电子绕核运动时，既有轨道角动量，又有L，S自旋角动量这时电子状态和总角动量有关。JSLJ这一角动量的合成，叫自旋轨道耦合。总角动量量子数用j表示，且有)1(jjJ由量子力学可知，J也是量子化的，相应的；，时，2/10sjSJl2/12/10lsljlsljl，或时，）、（平行SL）、（反平行SL经典矢量耦合模型图为：例如l=1时，，2)11(1L而，2/3S，，2/12/32/11slj。，2/32/15Jj=1/222/32/3JSL2/32/152j=3/2SLJ考虑到自旋轨道耦合，原子的状态可表示为：nj主量子数总角动量角量子数轨道角动量角量子数l的代号：l=0,1,2,3,4对应S,P,D,F如：n=3l=1j=3/23P3/2四、碱金属原子光谱的双线●●H原子+e-e●●碱金属原子原子实+e（价电子）-e所以光谱也与氢有差别。但是与氢原子不同的是，碱金属原子能级除还与l有关，这种结构类似于氢原子，碱金属原子（Li,Na,K,Rb,Cs,Fr）价电子以内的电子与原子核形成了一个带电+e的原子实。与n有关外，故它们的光谱也类似。1、碱金属能级Enl-e●●轨道贯穿轨道角动量影响能级的因素主要有两方面：轨道贯穿使电子感受（1）轨道贯穿电子有可能进入原子实，到了更多正电荷的作用，对于不同的l，有不同的电子云分布，相应于不同的“轨道”。对于l较小的轨道，这称为轨道贯穿。因此能量要降低。分别●●●原子实极化-e这使得价电子附加了一部分负的电势能。（2）原子实极化价电子对原子实中负电荷的排斥，使原子实负电荷的重心向远离电子方向移动，造成了原子实的极化。原子实中所有电子电荷的和为(Z1)e，电荷重心偏移后，这部分负电荷与原子核中相应部分的等量正电荷形成了一个指向价电子的偶极子，e+(Z1)e(Z1)e相同主量子数n的氢原子中电子的能量。以上两种因素都使价电子感受到了更多正电都使主量子数为n的价电子能量低于荷的作用，碱金属的能级公式可表示为：n=2H原子能级碱金属能级n=22P(l=1)2S(l=0)2)Δ(eV6.13nlnlnEnlΔ—量子数亏损转而产生的磁场，电子的“轨道”运动使电子感受到原子实围绕它引起的附加磁能，称为自旋轨道耦合能：2、碱金属光谱的精细结构SLrHLSˆˆ)(ˆ自旋角动量和轨道角动量平行（j=l+1/2）的态的能量，比反平行态（j=l－1/2）的能量高。钠光谱的精细结构（finestructure）：3S(n=3,l=0)3P(n=3,l=1)Na双线碱金属的双线实验也是促使乌仑贝克和古兹米特提出电子自旋假设的根据之一。3P3/23P1/2（l=0，无自旋轨道耦