运筹学_多目标决策

多目标决策----Multi-criteriaDecisionAnalysis第一节多目标决策问题一、管理决策中的多目标特性–在许多决策问题中，都会遇到多个决策目标和对目标的度量不一致的情况。例1毕业生选择工作问题这些目标可能是相互矛盾的。经济待遇专业发展机会工作性质地区目标例2排水系统规划设计这些目标既相互矛盾，又不可公度例3投资方案的选择占用土地面积小投资小排水量最大排水效果好目标)(既相互矛盾又不可公度经营成本最小还贷年限最短投资回收期最短投资最小净现值最大目标–由此总结出多目标决策问题的三个特点(1)决策问题有多个目标(2)目标之间相互矛盾(3)目标的度量可能不一致–目标之间若相互一致，则不成为多目标决策问题。第二节目标规划(目的规划)------GoalProgramming一、目标规划问题及其基本概念1目标规划问题–举例(P512)Nicolo投资咨询公司面临的投资问题是:一个客户有80000美元用于投资,计划投资于两种股票:股票价格(美元/股)年收益(美元/股)风险指数/股美国石油HubProperties2550350.50.25现在客户要求:(1)风险指数不大于700;(2)年收益不小于9000美元.–问题的数学描述如下:设x1=购买美国石油的股票数;x2=购买HubProperties的股票数;则问题的目标为:(1)Z1(X)=0.5x1+0.25x2≤700(2)Z2(X)=3x1+5x2≥9000约束条件为:25x1+50x2≤80000–这里700和9000只是决策者的理想值或者目标值,一旦确定，决策者当然希望能达到所有目标.但由于上述两各目标是相互矛盾的,满足一个可能满足不了另外一个,这时我们可以说这个没有被满足的目标发生了偏差.–对于多目标决策问题，每个目标都应有个理想值或决策者对每个目标都有一个期望值，即目标值；对决策者来说，每个目标应尽可能的达到其目标值，但由于目标之间的矛盾性，这些目标值很难都得到满足。但决策者希望它们能得到最大限度地满足，即式中Ti为第i个目标Zi(X)的目的值或“靶值”。实际上表示Zi(X)偏离靶值Ti的大小，移之为偏差。piiiDXTXZ1|)(|min|)(|iiTXZ2基本概念(1)正、负偏差–令d+=Zi(X)-TiZi(X)Ti正偏差，即超过靶值的部分。d-=Ti－Zi(X)Zi(X)Ti负偏差，即未达到靶值的部分。–例如–若要求利润指标为Ti=100万元–当Zi(X)=110万元，则d+=10，同时d－=0–若Zi(X)=90万元，则d－=10，同时d＋=0(2)目标函数(达成函数)–决策者将目标值或靶值确定以后，当然希望目标函数尽量满足目标值，即要求正的或负的偏差越小越好。故目标函数的形式一般为：minZ=f(d+，d-)–一般有下列形式：①当要求某目标超过某值时：minZ=f(d-)②当要求某目标小于某值时：minZ=f(d+)③当要求某目标等于某值时：minZ=f(d++d-)④要求某目标超过某目标值时，超过值不限：minZ=f(d--d+)⑤当要求某目标函数小于某值时，小于值不限，minZ=f(d+-d-)(3)约束条件与优先级(优先因子)–现设有三个目标，第一个目标Z1要求大于T1，第二个目标要求正好等于T2，第三个目标要求小于T3，则目标规划的目标函数为：minZ=p1d-1+p2(d+2+d-2)+p3d3+–若没有任何限制条件当然，d1-，d2+，d2-，d3+=0，但作为规划问题一定要有约束条件：①绝对约束——系统中必须严格满足的约束条件；②目标约束–对于上述给定的问题有：–若上述所有条件都能满足，则d1-，d2+，d2-，d3+=0，但很可能不存在X同时满足所有条件，这样就允许各目标在尽量满足其靶值时，发生正的或负的偏差，故上述目标规划的约束条件于表示为：绝对约束DXTXZTXZTXZ332211)()()(绝对约束条件每个目标对应一个约束目标约束DXTddXZTddXZTddXZ)()()()(333322221111③优先因子–在上述问题的目标函数minZ=p1d-1+p2(d+2+d-2)+p3d3+中，–p1，p2，p3——优先因子，且认为p1p2p3，–更一般地有p1p2p3…pm。–因此，要实现上述目标函数极小化，必须首先满足d-1最小，其次是(d+2+d-2)，…。–这里的pi区别于权数，主要有两种考虑：a：将目标划分成若干级，上一级目标优先考虑；b：不需要考虑各目标的单位是否统一。另外，在同一优先级内，可能有多个目标，而这些目标也有个相对重要性的问题，此时引入权系数W以示它们的相对重要性。3目标规划数学模型–根据以上分析可将目标规划数学模描述如下：–式中wij——第i优先级中第j个目标的权数。mjijijijijpiidwdwpZ11)(minmjpiddDXTddXZijijijijijij,,1;10)(，，，二、目标规划应用举例（生产计划问题）–某厂拟生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，有关资料如下。单位产品财会表产品项目产品1产品2资源限量原材料需求1.05.072机器时间52.580装配时间2240直接材料成本0.250.75——直接人工成本2.751.25——销售价格4.05——单位产品利润13——–另外，产品造成的污染为：单位产品Ⅰ为3个单位，单位产品Ⅱ为2个单位。现工厂的主管部门考虑如下目标：P1：取得利润33；P2：把污染限制在36单位；P3：–问工厂应如何制定生产计划。112II25I3231ww权系数件的销售量满足产品权系数件的销售量满足产品解：设x1，x2为品Ⅰ，Ⅱ的生产量(决策变量)–则各目标函数可表示为：Z1(X)=x1+3x2(利润)Z2(X)=3x1+2x2(污染量)Z3(X)=x1，Z4(X)=x2(销量)–约束条件为：5x1+2.5x2≤82x1+2x2≤4x1+5x2≤72–现要求：Z1(X)≥33Z2(X)≤36Z3(X)≥5Z4(X)≥12–故该问题的目标规划数量模型为：–minZ=p1d-1+p2d+2+p3(2d3-+d-4)4321072542285.2512536233332121212144233122211121，，，，，，，绝对约束目标约束iddxxxxxxxxddxddxddxxddxxii三、目标规划的解法1.图解法2.计算机求解显然，目标规划是一类特殊形式的线性规划，因此可用线性规划方法求解，但目标规划的计算机求解要先确定优先级Pi；上述案例的计算机求解；（考虑绝对约束不满足）3.阳光海岸办公用品问题（1）问题描述P518（2）基本数据：计划联系的客户：老：200人；新：120人单位接洽所用时间：老：2h；新：3h每位客户接洽后利润：老：$250;新:$125可用接洽时间:4×160=640h;另加班时间:40h.（3）公司目标第一级目标P1：目标1：销售时间不超过680h；目标1：销售时间不小于600h；第二级目标P2：目标3：产生的销售额不少于70000美元；第三级目标P2：目标4：老客户不少于200人；目标5：新客户不少于120人；（4）建立问题的目标规划模型设接洽的老客户数为P，新顾客的人数为N，则问题的目标规划数学模型为：–minZ=p1d1++p2d2-+p2d3-+p3(d4-+2d5-)432101202007000012525060032680325544332211，，，，，，，目标约束iddNPddNddPddNPddNPddNPii计算机求解第三节层次分析法–层次分析法（TheAnalyticHierarchyProcess，AHP）是美国人T.L.Saaty于20世纪70年代中期创立的一种评价（多目标决策）方法–基本思想——使分析决策条理化、层次化，利用人的经验判断对决策方案排序。–特点——实用、简洁，定性分析于定量分析相结合。–应用范围——社会、经济、技术相系统，特别是对缺乏必要的数据资料的情况，AHP法尤为实用。一、AHP法原理与步骤（1）建立问题的递阶层次结构模型（建模）；（2）构造两两比较矩阵；（3）进行层次单排序，并进行一致性检验；（4）进行层次总排序，并进行总排序的一致性检验。（一）建立问题的递阶层次结构模型•模型的一般形式如下：决策目标准则1准则2准则3子准则1子准则2子准则3方案1方案2方案3目标层准则层子准则层方案层•例如：对某学校发展计划（方案）进行评价•（以下模型为一假设）增强学校综合实力加强师资队伍建设提高教学质量提高科研水平教师进修师资结构稳定师资课程建设教材建设教学获奖纵向课题横向课题科研获奖方案1方案2方案3目标层A准则层B子准则层C方案层B1B2B3C11C12C13C21C22C23C31C32C33P1P2P3（二）构造两两比较矩阵–比较矩阵是下层指标对上层指标的相对重要性的比较，或各方案对某指标的效用矩阵。–以上例为例，具体形式为：C11P1P2P3B1C11C12C13P1P2P31P2/P1P3/P1P1/P21P3/P2P1/P3P2/P31C11C12C131C12/C11C13/C11C11/C121C13/C12C11/C13C12/C131C33P1P2P3AB1B2B3P1P2P31P2/P1P3/P1P1/P21P3/P2P1/P3P2/P31B1B2B31B2/B1B3/B1B1/B21B3/B2B1/B3B2/B31等等为量化比较矩阵，Saaty给出了如下标度：标度含义Bi/Bj=1Bi/Bj=3Bi/Bj=5Bi/Bj=7Bi/Bj=92、4、6、8倒数（1/3）i元素与j元素相同重要i元素比j元素略重要i元素比j元素较重要i元素比j元素非常重要i元素比j元素绝对重要以上相邻判断之间的中间状态对应标度意义相反（三）进行层次单排序，并进行一致性检验（方根法、特征向量法）——方根法（1）计算判断矩阵每行元素的乘积，即：（2）计算：（3）归一化：•W=（W1，W2，…，Wn）T即为判断矩阵的特征向量的近似值，也是各元素的相对权重值（下层准则（或目标）对上层准则的相对重要性）njijiniaM1,,1niiMWnjiii（4）计算判断矩阵的最大特征根AW——判断矩阵A与向量W的乘积；（AW）i——向量AW的第i个元素；（5）一致性检验•当CR≤0.1时，判断矩阵A的一致性是可以接受的。其中，RI按下表取值：niiinWAW1max)(RICICRnnCI1maxN3456789RI0.580.901.121.241.321.411.45•所谓一致性：•当λmax=n时，这时矩阵称为一致性矩阵。然而，人们在进行两两比较时，不可能做到完全一致，从而存在着估计误差。如I与j比：标度为3，j与k比：标度为5，若I与k比，标度为6，则不太一致。因此要进行一致性检验。上面指标中，CR越大，一致性越差，相反则越好。n=2时，则完全一致。•如上例中：归一化得：教师进修C11P1P2P3WC11P1P2P311/31/7311/57510.6490.2780.073306.035/1186.13/5759.22135/1;3/5;21333231321)073.0,278.0,649.0(11221.0859.0994.1073.0278.0649.015/17/1513/1731AW063.307