全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

1手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2)DCAE(3)AE与DC之间的夹角为60(4)DFBAGB(5)CFBEGB(6)BH平分AHC(7)ACGF//2变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE（2）DCAE（3）AE与DC之间的夹角为60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2）DCAE(3）AE与DC之间的夹角为60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,,二者相交于点H问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？3例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,,二者相交于点H问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,,EBCBCBEABD,连结AE与CD，问：（1）DBCABE是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例1】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．MCBA4【练1】在△ABC中，59ABAC，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证：ACBCECFC．【例2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．【练1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF【练2】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．【练3】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥ABFECBAFEDCBAFEDCBAGFEDCBAFACDEB5【例3】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．【练1】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．【练2】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MDND．（1）若90A，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．【例4】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．【练1】已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线．求证：2CDCEFEMCBAFEDCBAMNDABCEDCBA6★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1.如图所示，ABC中，0045,90BC，AD平分BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。如图所示，在ABC中，060B，ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。2.如图所示，已知21，P为BN上一点，且BCPD于D，AB+BC=2BD，求证：0180BCPBAP。3.如图所示，在ABCRt中，AB=AC，090BAC，CBDABD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。DACEBDACBOEDABC21DMBCPNAC75如图所示，在ABC中，090ABC，AD为BAC的平分线，C=300，ADBE于E点，求证：AC-AB=2BE。6.如图所示，已知AB//CD，BCDABC,的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。7.如图，E是AOB的平分线上一点，OAEC，OBED，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。EDBACFDCAOBEEDBCA