§任意角和弧度制及任意角的三角函数

山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义任意角和弧度制及任意角的三角函数主页知识网络主页任意角的三角函数任意角三角函数定义同角三角函数的关系诱导公式和差化积，积化和差二倍角公式三角函数线平方关系、商式关系奇变偶不变符号看象限任意角正角、负角、零角象限角、轴线角终边相同的角任意角与弧度制；单位圆弧度制定义1弧度的角正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanx图象：描点法(五点法)、图象变换法性质：定义域、值域、对称轴、对称中心单调性、奇偶性、周期性、对称性①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）；④最小正周期；⑤对称轴,对称中心为2||πT(21)22πkx(,),Zπkbk三角函数三角函数模型的简单应用建筑学、航海、天文物理学等sin()yAxb①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；③弧长公式、扇形面积公式知识网络主页1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为_____、_____、_____.②按终边位置不同分为_______和_______.(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成__________________．正角负角零角象限角轴线角要点梳理忆一忆知识要点360(Z)kk(3)弧度制①1弧度的角________________________________叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为_____，负角的弧度数为_______，零角的弧度数为_____，|α|＝____，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．把长度等于半径长的弧所对的圆心角正数负数零lr主页③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小______,仅与_____________.④弧度与角度的换算：360°＝_____弧度；180°＝_____弧度．⑤弧长公式：____________，扇形面积公式：S扇形＝_______＝_________.无关角的大小有关要点梳理忆一忆知识要点1．任意角(3)弧度制2ππ||lr12lr21||2rOlrαOlrαlr主页2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝___,cosα＝___,tanα＝____,它们都是以角为_______,以比值为_______的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：_______________________________.要点梳理忆一忆知识要点自变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦yrxryxyxosintancos+yxosintancos+主页要点梳理忆一忆知识要点3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的_________.由三角函数的定义知,点P的坐标为___________,即____________.其中cosα＝______，sinα＝_____，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝_____.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的_______、_______、_______.正射影(cos,sin)(cos,sin)POMMPAT余弦线正弦线正切线PMxoATyPMxoATy主页MPOMAT三角函数线有向线段____为正弦线有向线段____为余弦线有向线段____为正切线主页基础自测C52(－1，3)16π38题号答案12345主页题型一求与已知角终边相同的角【例1】已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z，那么两集合的关系是什么？解:(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.解:(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.解:(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.解:(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.解:(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.解:(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.主页题型一求与已知角终边相同的角探究提高1.第(1)小题与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k·360°＋α，k∈Z.2.第(2)小题也可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而MN.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而MN.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而MN.主页变式训练1(1)如果α是第三象限的角，那么-α，2α的终边落在何处？解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．解:(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z),⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．主页(2)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.变式训练1(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π