矩阵论课件

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,yV时，有唯一的和xyV（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律xyzxyz；（2）交换律xyyx；（3）零元律存在零元素o，使xox；（4）负元律对于任一元素xV，存在一元素yV，使xyo，且称y为x的负元素，记为（x）。则有xxo。（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当xV，kK时，有唯一的kxV（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律kxykxky；（6）分配律klxkxlx；（7）结合律klxklx；（8）恒等律1xx；[数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域，V就称为复线性空间。例1．设R＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy=xy,kkxxo证明：R是实数域R上的线性空间。[证明]首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性①唯一性和封闭性唯一性显然若x0,y0,kR，则有xy=xyRkkxxoR封闭性得证。②八条性质（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z（2）xy=xy＝yx=yx（3）1是零元素x1＝1=xx[xo=x－x+o=x－o=1]（4）1x是x的负元素x1x＝1x1x[x+y=o]（5）ko（xy）kkkxyxykoxkoy[数因子分配律]（6）klklklxxxxo（kox）（lox）[分配律]（7）klklklxxxklxooo[结合律]（8）11xxxo[恒等律]由此可证，R是实数域R上的线性空间。2．定理：线性空间具有如下性质（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。（2）如下恒等式成立：0xo，1xx。[证明]（1）采用反证法：①零元素是唯一的。设存在两个零元素o1和o2，则由于o1和o2均为零元素，按零元律有[交换律]o1＋o2＝o1＝o2＋o1＝o2所以o1＝o2即o1和o2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。②任一元素的负元素也是唯一的。假设xV，存在两个负元素y和z，则根据负元律有xyo＝xzyyoyxzyxzozz[零元律][结合律][零元律]即y和z相同，故负元素唯一。（2）①：设w=0x，则x+w=1x+0x=(1+0)x=x，[恒等律]故w=o。②：设w=(－1)x，则x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o，故w=－x。3．线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。•线性组合：12m12mx,xxV,c,ccKLLm1122mmiii1cxcxcxcxL@称为元素组12mx,xxL的一个线性组合。•线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示。•线性相关性：如果存在一组不全为零的数12mc,ccKL，使得对于元素12mx,xxVL有miii1cx0则称元素组12mx,xxL线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。4．线性空间的维数定义：线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数，记为dimV。本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。例2.全体m×n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。[解]一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。令Eij为这样的一个m×n阶矩阵，其（i,j）元素为1，其余元素为零。显然，这样的矩阵共有mn个，构成一个具有mn个元素的线性无关元素组：11121n21222nm1m2mnE,E,E;E,E,E;;E,E,ELLLL另一方面，还需说明元素个数最大。对于任意的ijmnAa，都可由以上元素组线性表示，ijiji,jAaE——ijiji,jaEA0即ijE|i1m,j1n::构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为mn。二、线性空间的基与坐标1．基的定义：设V是数域K上的线性空间，12rx,xxr1L是属于V的r个任意元素，如果它满足（1）12rx,xxL线性无关；（2）V中任一向量x均可由12rx,xxL线性表示。则称12rx,xxL为V的一个基，并称12rx,xxL为该基的基元素。•基正是V中最大线性无关元素组；V的维数正是基中所含元素的个数。•基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。例3考虑全体复数所形成的集合C。如果K＝C（复数域），则该集合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取K＝R（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为2。数域K两种运算基一般元素空间类型维数复数域C（1）复数加法；（2）复数对复数的{1}cc1复线性空间1数乘实数域R（1）复数加法；（2）实数对复数的数乘{1,i}ca1bi实线性空间22．坐标的定义：称线性空间nV的一个基12nx,xxL为nV的一个坐标系，nxV，它在该基下的线性表示为：niii1xiiK,xV,i1,2,nL则称12n,L为x在该坐标系中的坐标或分量，记为T12n,L讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。（2）更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。11122nn1122nnxy(xxx)(xxx)LL111222nnn()x()x()xL正对应12n1122nn12nx(,,,)xy,,,y(,,,)LLL21122nn1122nnkxkxxxkxkxkxLL12nk,k,,kL正对应12nx(,,,)L12nkxk,k,,kL（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。三、基变换与坐标变换基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。设12nx,xxL是nV的旧基，12ny,yyL是nV的新基，由于两者都是基，所以可以相互线性表示njijii1ycx(i1,2,nL)即11121n21222n12n12n12nn1n2nnccccccy,yyx,xxx,xxCcccLLLLLMMOML其中C称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C是可逆的。设nxV，它在旧基下的线性表示为1n2ii12ni1nxxx,x,xLM它在新基下的线性表示为12in''n'i12ni1'xyy,y,yLM则12n'1'212n12n'ny,y,yx,x,xLLMM由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系12n'1'2'nCMM12n'1'21'nCMM作业：P25－263，5，7，9补充：证明对于线性空间的零元素o，kK，均有ko＝o。第二讲线性子空间一、线性子空间的定义及其性质1.定义：设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件（1）如果x、yV1，则x＋yV1；（2）如果xV1，kK，则kxV1，则称V1是V的一个线性子空间或子空间。2.性质：（1）线性子空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。[证明]（1）0x01xVVQV中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。（2）1xV（－1）x=(－x)1V封闭性V1中元素的负元素仍在V1中3.分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：{0}和V本身非平凡子空间：除以上两类子空间4.生成子空间：设x1、x2、···、xm为V中的元素，它们的所有线性组合的集合miiii1kx|kK,i1,2mL也是V的线性子空间，称为由x1、x2、···、xm生（张）成的子空间，记为L(x1、x2、···、xm)或者Span(x1、x2、···、xm)。若x1、x2、···、xm线性无关，则dim{L(x1、x2、···、xm)}=m5.基扩定理：设V1是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间，x1、x2、···、xm是V1的一个基，则这m个基向量必可扩充为Vn的一个基；换言之，在Vn中必可找到n-m个元素xm+1、xm+2、···、xn，使得x1、x2、···、xn成为Vn的一个基。这n-m个元素必不在V1中。二、子空间的交与和1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，则1212VVx|xV,xVI1212VVxy|xV,yV分别称为V1和V2的交与和。2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个子空间，则12VVI，V1＋V2均为V的子空间[证明]（1）12x,yVVI1xyV2xyV12xyVVI12xVVIkK1kxV2kxV12kxVVI12VVI是V的一个线性子空间。（2）121x,xV122y,yV11(xy)12VV22(xy)12VV12(xx)1V12(yy)2V1122121212(xy)(xy)(xx)(yy)VVkK11kxV12kyV111112k(xy)kxkyVV12VV是V的子空间。3.维数公式：若V1、V2是线性空间V的子空间，则有dim(V1+V2)+dim(V1V2)=dimV1+dimV2[证明]设dimV1=n1,dimV2=n2,dim(V1V2)=m需要证明dim(V1+V2)＝n1＋n2－m设x1、x2、···、xm是V1V2的一个基，根据基扩定理存在1）y1、y2、···、yn1－mV1，使x1、x2、···、xm、y1、y2、···、yn1－m成为V1的一个基；2）z1、z2、···、zn2－mV2，使x1、x2、···、xm