定积分习题及讲解

第四部分定积分第1页共30页1第四部分定积分[选择题]容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。1．积分中值定理baabfdxxf))(()(，其中（）。(A)是],[ba内任一点；(B).是],[ba内必定存在的某一点；(C).是],[ba内唯一的某一点；(D).是],[ba的中点。答B2．0,0,)()(20xcxxdtttfxFx,其中)(xf在0x处连续，且0)0(f若)(xF在0x处连续，则c（）。(A).0c;(B).1c;(C).c不存在；(D).1c.答A3．adxxxIannn(,1sinlim为常数）由积分中值定理得annadxxx1sin1sin，则I（）。(A)aaaaan1sin1sinlim1sinlim2;(B).01sinlim0a;第四部分定积分第2页共30页2(C).aa1sinlim;(D).1sinlima.答C4．设)(xf在],[ba连续，xadttfx)()(，则（）。(A).)(x是)(xf在],[ba上的一个原函数；(B).)(xf是)(x的一个原函数;(C).)(x是)(xf在],[ba上唯一的原函数;(D).)(xf是)(x在],[ba上唯一的原函数.答A5．设0)(badxxf且)(xf在],[ba连续，则（）。(A).0)(xf;(B).必存在x使0)(xf；(C).存在唯一的一点x使0)(xf；(D).不一定存在点x使0)(xf。答B6．设adxxfxI023)((0.a),则（）。(A).20)(adxxxfI;(B).adxxxfI0)(;(C).20)(21adxxxfI;(D).adxxxfI0)(21.答C7．1121)1(dxxx()第四部分定积分第3页共30页3（A）（B）2（C）2（D）4答（A）8．设其余03sin)(xxxf，则02cos)(xdxxf()（A）43（B）43（C）1（D）－1答（B）9．设]1,0[Cf，且2)(10dxxf，则2022sin)(cosxdxxf()（A）2（B）3（C）4（D）1答（A）10．定积分的值与哪些因素无关？()(A)积分变量。(B)被积函数。(C)积分区间的长度。(D)积分区间的位置。答A11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现一个有限的间断点，问结果如何？()(A)必将破坏可积性。(B)可能破坏可积性。(C)不会破坏可积性，但必将改变积分值。(D)既不破坏可积性，也不影响积分值。答D12．定积分的定义为niiibaxfdxxf10)(lim)(，以下哪些任意性是错误的？()(A)随然要求当0maxiix时，iiixf)(的极限存在且有限，但极限值仍是任意的。第四部分定积分第4页共30页4(B)积分区间],[ba所分成的分数n是任意的。(C)对给定的份数n，如何将],[ba分成n份的分法也是任意的，即除区间端点nxbxa,0外，各个分点121nxxx的取法是任意的。(D)对指定的一组分点，各个],[1iiixx的取法也是任意的。答A13．202sindxxdxd等于()（A）0（B）1（C）1（D）2答A14．定积分dxxx03sinsin等于()（A）34（B）0（C）32（D）23答A15．定积分dxxx03coscos等于()（A）0（B）23（C）34（D）34答C16．定积分20|cossin|dxxx等于()（A）0（B）1（C）12（D）)12(2答D17．定积分dxxx2223}1,,max{等于()（A）0（B）4第四部分定积分第5页共30页5（C）316（D）1297答D18．当0x时，函数dttxfxsin02tan)(是x的()（A）1阶无穷小量（B）2阶无穷小量（C）3阶无穷小量（D）4阶无穷小量答C19．设)(xf在],[aa上连续且为奇函数，xdttfxF0)()(，则（）。（A）)(xF是奇函数；（B）)(xF是偶函数；（C）)(xF是非奇非偶函数；（D）（A）、（B）、（C）都不对。答B20．设)(xf在],[ba上连续，且badxxf0)(，则（）。（A）在],[ba的某个子区间上，0)(xf；（B）在],[ba上，0)(xf；（C）在],[ba内至少有一点c，0)(cf；（D）在],[ba内不一定有x，使0)(xf。答C21．设)(xf在],[ba上连续，且badxxf0)(，则badxxf0)]([2（）。（A）一定成立；（B）一定不成立；（C）仅当f单调时成立；（D）仅当0)(xf时成立。答D第四部分定积分第6页共30页622．dxxxx20232=()(A))22(154(B))22(154(C)528324(D)528324答A23．设dxxIba,则I=()(A))(22ab(B))(22ab(C)))(21aabb(D)))(21aabb答C24．设,2arcsin)(,)1ln()(2002dttxgdttxfxx则当0x时,)(xf是)(xg的()(A)同阶无穷小,但不等价(B)等价无穷小(C)低价无穷小(D)高价无穷小答D25．xttdtexF0,cos)(则)(xF在],0[上有()(A))2(F为极大值,)0(F为最小值(B))2(F为极大值,但无最小值第四部分定积分第7页共30页7(C))2(F为极小值,但无极大值(D))2(F为最小值,)0(F为最大值答A26．设xdttfxF0)()(,则)(xF()(A)dttfttfx0)]()([(B)xxf)((C)xxxdttfdttf00)()((D)xxtfttdtf00)()()(答C27．xxdttdxdln2)1ln(=()(A))21ln(2)ln1ln(1xxx(B))21ln()ln1ln(1xxx(C))21ln()ln1ln(xx(D))21ln(2)ln1ln(xx答A28．xxdttxxxxxxf0220cos1010)cos1(2)(,则)(xf在0x点()(A)连续,但不可导(B)可导,但导函数不连续(C)不连续第四部分定积分第8页共30页8(D)导函数连续答D29．设xexetdtIdttI221ln,ln),0(x则()(A)对一切的,ex有21II(B)对一切的,ex有21II(C)仅当ex时,21II(D)仅当ex时,21II答C30．下列积分中不为零的是()(A)dxxx22101sin(B)dxxx2sincos(C)dxxxx)arcsin(11ln22121(D)222sin1cos)1(xxx答D31．下列运算正确的是()(A)22lnsinlncot4242xxdx(B)22lnsinlncot2424xxdx(C)21arctan1arctan1111xdxxdxd第四部分定积分第9页共30页9(D)02tanarctan21tan2sec20202xdxxx答A32．曲线1),0(,12yxxyxy与x轴所围的面积等于()(A)67(B)32(C)21(D)34答A33．111dxeexx()(A)1(B)ee11(C)ee11(D)1答(A)34．设eexdxIxdxI12211ln,ln，则(A)0212II(B)0212II(C)eII122(D)eII122答(C)35．定积分badxbxax))((()(A)6)(3ab第四部分定积分第10页共30页10(B)6)(3ba(C)3)(3ab(D)633ab答(B)36．222dxex（）(A)2224dueu(B)22dtet(C)0222dxex(D)0222dxex答(D)37．函数)(xf在],[ba上连续是)(xf在],[ba上可积的（）(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件答B38．设函数)(xf在],[aa上连续，则aadxxf)(恒等于（）(A)adxxf0)(2(B)0(C)adxxfxf0)]()([(D)adxxfxf0)]()([答C39．设)0(cos,)1(,sin323322adxxQdxexPxdxxNaaaaxaa则（）(A)QPN(B)PQN(C)NPQ(D)QNP第四部分定积分第11页共30页11答D40．设函数)(xf在),(上是可积函数，则xadttfxF)()(是（）(A)是偶函数(B)是奇函数(C)可能是奇、也可能是偶函数(D)非奇、非偶函数答A41．设函数)(xf是连续函数，且tsdxtxftI/0)(，其中0t则I（）(A)依赖于s与t；(B)依赖于s，不依赖于t；(C)依赖于t，不依赖于s；(D)不依赖于s与t。答B42．曲线xey与其过原点的切线及y轴所围成的面积为()(A)10)(dxexex(B)edxyyy1)ln(ln(C)dxxeeexx)(1(D)10)ln(lndxyyy答A43．()1(212dtttdxdx）(A)xx12(B)212xx(C)241xx(D)2512xx答D44．下述结论错误的是（）(A)dxxx021发散(B)dxx0211收敛(C)012dxxx(D)dxxx21发散答C45．设xxexdttf)1()(0，则dxxxfe1)(ln（）(A)e(B)0第四部分定积分第12页共30页12(C)e(D)e2答D46．设)(xf在]2,1[上可积，且211)(,1)2(,1)1(dxxfff则21)(dxxfx=（）(A)2(B)1(C)0(D)1答A47．设xdtttxf50sin)(，xtdttxsin01)1()(，当0x时，)(xf是)(x的()（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小（D）等价无穷小答（C）48．设ba,为任意实数，)(xf为连续函数，且)()(xafxaf.则bbdxxaf)(()（A）badxxf)(（B）abdxxf0)(2（C）bdxxaf0)(2（D）0答（D）49．设)(xf为已知单调连续函数，)(xg为)(xf的反函数，则)(0sin)(xftdtttgdxd()（A）)())(sin()(xfxfxxf（B）))(sin()(xfxfx（C）)())(sin()(xfxfxfx（D）)()(sinxfxfxx答（C）50．设1011dxxxI，102)1ln(dxxI，则()（A）21II（B）21II第四部分定积分第13页共30页13（C）21II（D）不确定答（B）51．),0[1Cf，)(xg为)(xf的反函数，且满足)8(31)(23)(1xdttgxf，则),0[上的)(xf()（A）x1（B）x21（C）x2（D）x答（B）52.)(xf在],[ba上连续且badxxf0)(,则()(A)在],[ba的某个小区间上0)(xf(B)在],[ba上0)(xf(C)在],[ba内至少有一点,x使0)(xf(D)在],[ba内不一定有,x使0)