代数基本定理的初等证明

1代数基本定理的初等证明乔明云（四川成都师范高等专科学校数学系611930）摘要本文给出了代数基本定理的初等证明关键词代数基本定理，初等证明，复数域，一元n次多项式，根，闭曲线，映射，幅角增量。1799年，年仅21岁的高斯在他的博士论文中首次证明了定理在复数域上，一元n次多项式（1n）nnnnaZaZaZaZf1110)(（00a）至少有一个根。由于这个定理是方程论的基础，方程论又是初等代数学的主要内容，因而称为代数基本定理。高斯的证明是数学史上的一个里程碑。二百多年来，数学家们找到了这个定理的许多不同证明，但无不用到较为高深的数学知识（至少用到复变函数论）及数学思想方法，因此，几乎所有的高等代数教科书都仅叙述定理的内容而未给出证明。本文给出一个初等浅显的简单证明，供教学参考。首先证明两条引理：引理1设是复平面上的一条连续闭曲线，则在映射f下的象)(f仍是一条连续闭曲线。证明：设的参数方程是)()(tyytxx),(t则上的任意点Z满足)()()(tiytxtZZ),(t令kkkiak，Rk，nk,,2,1,0，则),(),())(()(01110yxiyxiyxiaZaZaZaZfWknnkkknnnn其中),(yx，),(yx是x，y的实多项式。于是，当)(tZZ时，))(,)(())(,)(())(()(tytxitytxtZftWW，从而在映射f下的象)(f是以))(,)(()())(,)(()(tytxttytxt),(t为参数方程的一条有向曲线，其中iW。2当动点Z从上一点0Z开始，沿着运动一周回到0Z时，动点)(ZfW则从曲线上相应的点)(00ZfW开始，沿着连续变动到0W，因而也是一条闭曲线。引理2存在正数R，当简单闭曲线内含圆盘C：RZZ时，点Z沿正向（逆时针方向）运动一周，多项式)(Zf的值的幅角增量nZf2)(arg。证明：首先证明，对任意1M，存在1R，当RZ时，点nZZf)(一定落在*C：M11的内部。不失一般性，可设)(Zf的首项系数10a，记naaaA10则nnnnnZaZaZaZaZaZaZZf2212211)(于是，当1Z时，ZAZaaaZZfnn211)(令RMA，显然1R，因此，当RZ时MZZfn11)(即当RZ时，点nZZf)(一定落在*C内部。如图1（图1）记21111MMtg，则M时，0。故M充分大时，充分小。显然，对于落在圆*C内的任何点均满足arg，从而有nZZfarg)(arg（1）当简单闭曲线内含圆C：RZZ时，一方面，上的任何点Z都满足RZ，3从而点nZZf)(一定落在*C内部，于是，上的每一点均满足（1）。另一方面，由于原点在内部，当点Z沿正向转一周时，Z的幅角增量2argZ，从而nZ的幅角增量nZn2arg（2）于是，当点Z沿正向转一周时，)(Zf与nZ的幅角增量相同，即有nZZfn2arg)(arg下面，我们来证明代数基本定理：首先证明，在复平面上存在这样的点0Z，在它的任何邻域内都能找到闭曲线q，使得0)(argZfq根据引理2，存在正数R，当正方形1Q内含圆RZZ时，如图2点Z沿1Q的周界1q正向转一周，)(Zf的幅角增量02)(arg1nZfq把1Q平分为四个小正方形41)(2kkQ，它们的周界记为)(2kq。（图2）（图3）当点Z沿每一个)(2kQ的周界)(2kq正向运动一周时，在它们的公共边界上按互为相反的方向各运动一次，)(Zf的相应的幅角增量互相抵消（图3）。从而)(Zf的幅角增量之总和恰好等于沿1Q的周界1q运动一周时的幅角增量，即有41)(20)(arg)(arg1kqkZfZfq由此可知，在四个小正方形41)(2kkQ中至少有一个，记为2Q，其边界为2q，满足0)(arg2Zfq。再把2Q平分为四个小正方形，重复前述推理可知，其中又至少有一个小正方形3Q，其4周界3q满足0)(arg3Zfq。把这一过程无限地继续下去，我们得到一列闭正方形域nQQQQ321其中每一个均是由其前一个平分为四而得到，它们的边界分别为1q，2q，3q，…，nq，…。对每一个n都有0)(argZfnq。根据闭矩形套定理，存在唯一的点nQZ0，n=1，2，…。于是对于0Z的任何一个邻域)(0ZU，只要取足够大的正数)()(0ZUNN，便有正方形)(0ZNUQ满足0)(argZfNq这样，我们的论断获证。下面，我们证明0Z就是)(Zf的根。只须证明：如果0)(0Zf，则存在0，对于0Z的邻域0*)(0ZZZUz内的任何闭曲线恒有0)(argZf事实上，当10ZZ时，10ZZ，记10ZM，则)()(0ZfZf100)(nkknknkZZa)()(1010200210knnkknknknkZZZZZZaZZ1100)(knnkkMknaZZ1010)1(nkknaMnZZAMnZZn10)1(记AMnZfn10)1(2)(,1min，因0)(0Zf，故0，于是，当0ZZ时，即)(0ZUZ时2)()()(00ZfZfZf5这表明，当点)(0ZUZ时，点)(ZfW一定落在圆C：2)()(00ZfZfWW的内部。对于邻域*)(0zU内的任何闭曲线，根据引理1在映射f下的象)(f仍是一条闭曲线。据上述证明可知，被圆C所包含（如图4）。（图4）当点Z沿运动一周时，点)(ZfW沿运动一周，由于原点在的外部，当然有0argW，于是0)(argZf综合上述两个方面，代数基本定理获证。ANELEMENTARYPROOFFORALGEBRAICBASICTHEOREMQiaoMingYun(Sichuan,MathematicsDepartmentChengduTeachersCollege,611930)Abstract:Inthispaper,we’llgiveanelementaryproofforalgebraicbasictheorem.Keywords:Algebraicbasictheorem,Elementaryproof,Complexfield,Monadicmultinomialofdegreen,Root,closecurve,Mapping,Angleofbreadthincrement.