【走向高考】2020高三数学一轮总复习-2-5幂函数同步练习-北师大版.doc

12-5幂函数基础巩固一、选择题1．(文)(2011·陕西文，4)函数y＝x13的图像是()[答案]B[解析]本题考查幂函数图像．当x1时x13x，排除C、D，当0x1时x13x，排除A.(理)如图所示函数图像中，表示y＝x23的是()[答案]D2[解析]因为23∈(0,1)，所以y＝x23的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数y＝x23是偶函数，故图像应为D.2．当x∈(1，＋∞)时，下列函数的图像全在直线y＝x下方的偶函数是()A．y＝x12B．y＝x－2C．y＝x2D．y＝x－1[答案]B[解析]因为是偶函数，排除A，D，又当x∈(1，＋∞)时，图像在直线y＝x下方，故y＝x－2适合．3．(文)设n∈－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使得f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]只有当n＝－1时，f(x)＝xn为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2012·吉安期末)函数y＝x45是()A．奇函数，并且在(0，＋∞)上为增加的B．偶函数，并且在(－∞，0)上为减少的C．奇函数，并且在(0，＋∞)上为减少的D．偶函数，并且在(－∞，0)上为增加的[答案]B[解析]y＝x45＝5x4，x∈R，且满足f(－x)＝f(x)，故为偶函数．又450，所以在第一象限内的图像是单调递增，因此在(－∞，0)上为减少的．4．若集合A＝{y|y＝x13，－1≤x≤1}，B＝y|y＝12x，x≤0，则A∩B＝()A．(－∞，1)B．[－1,1]C．∅D．{1}[答案]D3[解析]y＝x13在－1≤x≤1时，有－1≤y≤1；y＝12x，在x≤0时，有y≥1，∴A∩B＝{1}．5．(文)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0[答案]C[解析]原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1.(理)函数y＝|x|9n(n∈N且n9)的图像可能是()[答案]C[解析]∵f(－x)＝|－x|9n＝|x|9n＝f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.令n＝18，则y＝|x|12，当x≥0时，y＝x12，由其在第一象限的图像知选C.46．(2012·中山模拟)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中不满足任何一个等式的是()A．f(x)＝3xB．f(x)＝xαC．f(x)＝log2xD．f(x)＝kx(k≠0)[答案]B[解析]f(x)＝3x满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)；f(x)＝log2x满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，而f(x)＝xα不满足任何一个等式．二、填空题7．(文)0.312，2.212，2.112这三个数从小到大排列为______________．[答案]0.3122.1122.212[解析]由于函数f(x)＝x12在[0，＋∞)上是增加的，所以f(0.3)f(2.1)f(2.2)，即0.3122.1122.212.(理)(2012·济南模拟)设函数f1(x)＝x12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2013)))＝________.[答案]12013[解析]f1(f2(f3(2013)))＝f1(f2(20132))＝f1((20132)－1)＝((20132)－1)12＝2013－1＝12013.8．若a＝(－1.2)23，b＝(1.1)23，c＝(0.9)12，则它们的大小关系是________．[答案]cba[解析]a＝(－1.2)23＝(1.2)23(1.1)23(0.9)12，即cba.三、解答题9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)在(1)的条件下，且在(0，＋∞)上是增加的；5(3)是正比例函数；(4)是反比例函数；(5)是二次函数．[解析](1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数．则－5m－30，即m－35.∴m＝2舍去，故m＝－1.(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时，m2－m－1≠0，故m＝－45.(4)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，∴m＝－25.此时m2－m－1≠0，故m＝－25.(5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.综上所述，当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数；当m＝－1时，f(x)是幂函数且在(0，＋∞)上是增加的；当m＝－45时，f(x)是正比例函数；当m＝－25时，f(x)是反比例函数；当m＝－1时，f(x)是二次函数.能力提升一、选择题1．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值为()A．－1或2B.1±52C．2D．－1[答案]C[解析]因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以6m2－m－1＝1，m2－2m－30，解得m＝2.2．(南昌一模)已知实数a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]设x＝2a，则有x∈(1,2)．依题意得M＝2a＋21－a＝2a＋22a＝x＋2x.易知函数y＝x＋2x在(1，2)上是减函数，在(2，2)上是增函数．因此有22≤M3，M的整数部分是2，选B.二、填空题3．当x∈(0,1)时，y＝xp(p≥0)的图像在直线y＝x上方，则p的取值范围是________．[答案][0,1)[解析]结合幂函数y＝xα在第一象限的图像，当0α1时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数，且x∈(0,1)时，图像在y＝x上方，x∈(1，＋∞)时，图像在y＝x下方；又p＝0时，y＝x0＝1(x≠0)也满足．故p的取值范围是0≤p1.4．已知函数f(x)＝x1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.[答案]3[解析]取值验证，α＝1，y＝x0不满足；当α＝2，y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数，因其为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不合题意；当α＝3，y＝x－23满足题意．三、解答题5．(文)已知幂函数y＝f(x)的图像过点(2，22)，试研究该函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)．[解析]设y＝xα，依题意有：22＝2α，7∴α＝－12，∴f(x)＝x－12，∴定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，又∵定义域不关于原点对称，∴y＝x－12为非奇非偶函数．又∵其幂指数α＝－12，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．(理)若f(x)＝x1－n2＋2n＋3(n∈Z)的图像在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．[解析]由已知得－n2＋2n＋30，解得－1n3，又n∈Z，所以n＝0,1,2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x13，此时原不等式化为x2－xx＋3，解得x3或x－1；当n＝1时，f(x)＝x14，此时原不等式可化为x2－x≥0x＋3≥0，x2－xx＋3，解得x3或－3≤x－1.综上所述，当n＝0或n＝2时原不等式解集为{x|x3或x－1}；当n＝1时，原不等式的解集为{x|x3或－3≤x－1}．6．设函数f(x)＝x＋1x的图像为C1，C1关于点A(2,1)对称的图像为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的函数表达式；(2)当a1时，解不等式logag(x)loga92.[解析](1)设图像C2上任一点P(x，y)，则P点关于点A(2,1)的对称点P′坐标为(48－x,2－y)，依题意P′在图像C1上，所以2－y＝4－x＋14－x，即g(x)＝x－2＋1x－4.(2)因为g(x)＝x－2＋1x－4＝x－2x－4，所以原不等式可化为logax－2x－4loga92，因为a1，所以x－2x－492且x4，由x－2x－492整理得2x2－21x＋540，所以92x6，又∵x4，∴不等式解集为x|92x6.7．(文)设f(x)是定义在R上以3为最小正周期的周期函数．当－1≤x2时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18)，求函数在[3k－1,3k＋2)(k∈Z)上的表达式f(x)．[解析]因为当－1≤x2时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18)，令y＝f(x)＝xα，即(12)α＝18，所以α＝3，即f(x)＝x3.又因为f(x)是定义在R上以3为最小正周期的周期函数，所以当x∈[3k－1,3k＋2)(k∈Z)时，x－3k∈[－1,2)．所以f(x)＝f(x－3k)＝(x－3k)3，即函数在[3k－1,3k＋2)(k∈Z)上的表达式为f(x)＝(x－3k)3.(理)已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q(q0)，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1，2]上的值域为－4，178？若存在，求出q；若不存在，说明理由．[分析]利用f(2)f(3)求k，易得f(x)的解析式，再利用f(x)表达g(x)从而求解．[解析]∵f(2)f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．故－k2＋k＋20，解得－1k2.又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.9(2)假设存在q0满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点2q－12q，4q2＋14q处取得．而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝q－24q≥0，∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．[点评]掌握幂函数图像的特点是研究幂函数性质的基础，关于存在性问题往往是先假设存在，然后利用若存在则应具备的关系建立待求量的方程，若方程有解则假设存在成立，若方程无解则假设不成立，即可得出不存在的结论．