复变函数与积分变换----第七章----复旦大学出版社

§7.1傅里叶变换一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间[-L/2,L/2]上连续，那么在[-L/2,L/2]上可以展开成傅里叶级数其中一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)傅里叶级数.01()(cossin),2Lnnnaftantbnt/20/2/2/2/2/22π2,()d,2()cosd,1,2,,2()sind,1,2,.LLLLnLLLnLLafttLLaftnttnLbftnttnL傅里叶级数的复指数形式eeeeeecossin,222ititititititttii0101eeee()222ee.222intintintintLnnnintintnnnnnaftabiaaibaib/200/21()d,2LLLacfttL记/2/2/2/2/2/2/2/221()(cos)d()(sin)d1()(cossin)d1()ed,1,2,,nnnLLLLLLLLLLintLLaibcftnttiftnttLftntinttLfttnL/2/221()ed,1,2,.nnnLintLLaibcfttnL/2/21()ed,1,2,,LintnLLcfttnL01()(ee)e,intintintLnnnnnftcccc/2/21()()ede.LintintLLnLftfttL设非周期函数F(t)在区间内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示(,)()e,,22intnnLLFtct其中系数为/2/21()ed,0,1,2,,LintnLcFttnL定义一个周期为L的函数FL(t)，在区间(-L/2,L/2)内等于F(t)，而在区间端点-L/2,L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值；当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是lim()().LLFtFt对任意的，有t()lime.intnLnFtc当L时，，令，则有2πTnngcL2π/1((1))2π()e2πintLLnnnnFtgL/22π//2()ed.LintLnLgFtt以及记，有2π/nnL11()()e(),2πnitLLnnnnFtG其中对实数，函数定义为()LG/2/2()()ed.LitLLGFtt当L趋向无穷时，自然趋向于一个函数，称为函数F的傅里叶变换，()LG()G()()ed.itGFtt随着L趋向无穷时，趋向于零，而所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到，1nnnn1()ed2πitG11()e()2π()nitLnnnLnFtG称为的傅里叶逆变换.()G()p.v.()edlim()edNititNNGFttFtt11()p.v.()edlim()ed2π2πNititNNFtGG定理7.1若F(t)在(-,)上满足下列条件：1)F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；2)F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点；3)F(t)在区间(-,)上绝对可积，即是积分收敛.则F的傅里叶变换存在，且有()dFtt()G()1p.v.()ed(0)(0)2π2itFtFGFtFt当连续时;其他情形.例7.1求函数的傅里叶变换，并验证傅里叶逆变换.21()4Ftt解:211()4(2)(2)Ftttiti除了两个单极点外是一个解析函数2ti2e()d4itGtt如果，考虑在下半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理，有0222e()(2π)Res;24ee2πlimπ.22itittiGiititi当，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得022ee()(2π)Res;2π.42itGiit2e()π.2G验证傅里叶逆变换计算2211ee()edπeded2π2π24itititG由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分为零，因此有22(2)02eeReed2Reed441eRe221.4ititititt2211eπed.42π2itt所以例7.2求函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数.0,0;()e,0ttFtt解:0()220()()edeed1ed.ittititGFtttiti上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换222222011()()eded2π2π1cossind2π1cossind.πititiFtGtttt傅里叶逆变换例7.3求函数的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中.这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.2()etFtA,0A22242()()()()ededeed.iittittGFttAtAt解:令，则上式变为一复变函数的积分，2its22222()eded.iiitsts为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得2es22eded0.ssABBCCDDAss当正方形边长R时，222πededed,RsttABRstt2222222222()0(2)00ededed()eedeed0.iiiRssRiuBCRRuiRuRussRiuuu同理可得，当R时，有2ed0sDAs.故有22ππlimedlimed0,ssRRCDDCss即是222πed.iiss高斯函数的傅里叶变换为24π()e.GA的傅里叶逆变换()G2424011π()()ede(cossin)d2π2πecosd.πitFtGAtitAt此即为2240πeecosd.tt§7.2单位脉冲函数及其傅里叶变换定义狄拉克(Dirac)函数：0,0;(),0,ttt当当()d1.tt函数表达式为它表示一个矩形脉冲电流.1,;()0,ststs0其余地方.即是矩形面积为1，称为脉冲强度.()d1,stt在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有即是00,0;lim(),0,ssttt当当0lim()d1.sstt0lim()().sstt表示的物理意义是是一个宽为0、振幅为、强度为1的理想单位脉冲.0lim()sst电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么0,0;()1,0,tQtt当当0d()()()()lim,dtQtQttQtIttt当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在通常的导数.0(0)(0)(0)lim,tQtQIt电流强度I(t)=(t).考虑函数集合：D={;是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数}.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间.x固定s0，对任意的D，积分定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射.()()dsttt因为D当然是一个连续函数，所以有0000011lim()()dlim()dlim()d(0).sssssstttttttss0lim()()d()()d(0).sstttttt0lim()()d()()d(0).sstttttt最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有()()d(0),ttt00()()d().ttttt函数的傅里叶变换0()()ede1.itittGtt例7.4证明单位阶跃函数的傅里叶变换为.0,0;()1,0tutt1π()i证明由函数的奇偶性，有011()π()ed2π111π()eded2π2π11sin11sin()eddd.22π2πititititFtiitt0sinπd;2当t=0时，显然有0sind0;t当t0时，有000sinsinsinπddd;2tttt当t0时，有000sinsin()sinπdd()d.()2tttt当t0时，得π112π2π112π20()0,0;11sin()d1,0.2πttFtt函数的傅里叶逆变换等于函数u(t)，命题得证.1π()i若时，则其傅里叶逆变换为所以，1是的傅里叶逆变换.()=2π()G11()()ed2π()ed1.2π2πititFtG2π()例7.5求函数F(t)=的傅里叶变换.0eit解00()0()eeded2π(),itititGt和互为傅里叶变换和傅里叶逆变换的关系.0eit02π()例7.6求正弦函数F(t)=的傅里叶变换.0sint解00000()()0000ee()esinded21eed212π()2π()2π()().ititititititGtttitiii§7.3傅里叶变换的性质对函数f(t)，记其傅里叶变换为F[f]，即是()()()ed.itffttF函数的傅里叶逆变换记作F-1(g)，即是-11()()()ed.2πitggF对单位脉冲函数，()1F单位阶跃函数u(t)，1()π()uiF正弦函数，0()sinftt