复变函数与积分变换----第二章----复旦大学出版社

§2.1复变函数的概念、极限与连续性1.复变函数的概念定义2.1设E为一复数集.若对E中的每一个复数,按照某种法则f有确定的一个或几个复数与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数），记作.通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数，其中E称为定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合称为f(z)的值域，记作f(E)或G.zxiywuiv()wfz若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数f(z)是单值的；若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，则称复变函数f(z)是多值的.复数z=x+iy与w=u+iv分别对应实数对(x,y)和(u,v)，对于函数w=f(z)，u、v为x、y的二元实数函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y)。函数w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1对应于两个实函数u=x2-y2+1和v=2xy.对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解为两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系：其中w称为z的像，z称为w的原像.()zEwfzG例2.1函数将z平面上的直线x=1变成w平面上的何种曲线？1wz解：2211,xiyzxiywuivzxiyxy2222,xyuvxyxyz平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线221,11yuvyy222222221(1)(1)11yuvyyuy2211()24uv设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G上确定了一个单值或多值函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数.2.复变函数的极限定义2.2设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|r内，若存在常数A，对于任意给定0的,都存在一正数(0r),使得当0|z-z0|r时,有,则称函数f(z)当zz0时的极限存在，常数A为其极限值.记作或.()fzA0lim()zzfzA0()()fzAzz几何意义当变点z进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域内.定义中zz0的方式是任意的，也就是说，z在z0的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z)都要趋向于同一个常数A.定理2.1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，则000(,)(,)lim()lim(,),zzxyxyfzAuxya00(,)(,)lim(,).xyxyvxyb证明：先证必要性.0lim()zzfzA即对,必,当0022000000()()()()zzxiyxiyxxyy时，有22()()()()()uavbfzAuivaib2222()(),()().uavbuavbuavb当时，有22000()()xxyy,uavb成立.0000(,)(,)(,)(,)lim(,),lim(,).xyxyxyxyuxyavxyb再证充分性.当时，有22000()()xxyy,.22uavb因此.()()()fzAuaivbuavb所以，当220000()()zzxxyy()fzA有0lim()zzfzA即定理2.2(极限运算法则)若00lim(),lim(),zzzzfzAgzB000(1)lim(()());(2)lim()();()(3)lim(0).()zzzzzzfzgzABfzgzABfzABgzB则若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限，则其和、差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在，并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、积、商.例2.2判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值：Re()(1)();zzfzz22Re()(2)().zfzz解：(1)方法一Re()()zfzzzz因为所以，取，当时，总有00z()0()fzfzz根据极限定义0lim()0zfz方法二设z=x+iy,则2222222()(),xiyxxxyfzixyxyxy22222(,),(,).xxyuxyvxyxyxy22222(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxyxxyxyxy根据定理2.1，有0lim()0zfzRe()(1)();zzfzz22Re()(2)().zfzz(2)方法一.设z=x+iy,则2222222,.zxyxyixyz222222Re()().zxyfzxyz2222(,),(,)0.xyuxyvxyxy让z沿直线y=kx趋向于0，有22222222(,)(0,0)01lim(,)lim.1xyxxkxkuxyxkxk(,)(0,0)lim(,)xyuxy所以不存在根据定理2.1，0lim()zfz不存在.方法二.22cos2()cos2rfzr则e(cossin)izrri设让z沿不同射线argz趋向于0时，f(z)趋向于不同的值.所以0lim()zfz不存在.22Re()(2)().zfzz3.复变函数的连续性定义2.3若，则说函数f(z)在点z0处连续.如果函数f(z)在区域D内每一点都连续，那么称函数f(z)在区域D内连续.00lim()()zzfzfz定理2.3若f(z)、g(z)在点z0连续，则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续.(1)多项式在整个复平面上连续；(2)任何一个有理分式函数在复平面上除去使分母为零的点外处处连续.1011nnnnwazazaza10111011nnnnmmmmazazazawbznzbzb定理2.4若函数h=g(z)在点z0连续，函数=f(h)在h0=g(z0)连续，则复合函数=f(g(z))在z0处连续.定理2.5设函数,则f(z)在点z0连续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)均在点(x0,y0)连续.000()(,)(,),fzuxyivxyzxiy例2.3讨论函数argz的连续性.解：当z=0时,argz无定义，因而不连续.当z0为负实轴上的点时，即z0=x00,则00000,0,0,0,limarglim(arctanπ)π,limarglim(arctanπ)π,yzzyxxyzzyxxyzxyzxargz在负实轴上不连续.若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点arctan(/),argarctan(/)π,yxzyx00x000(,)(,)00arctan(/),arctan(/),limarglimarctan(/)π,arctan(/)π,zzxyxyyxyxzyxyx00limargargzzzzargz在除去原点和负实轴及虚轴的复平面上连续.当z0为正、负虚轴上的点z0=iy0(y0≠0)时00πlimargarg.2zzzzargz在虚轴上也连续.因此argz在复平面上除了原点和负实轴外连续.设为复平面上的有界闭区域，函数w=f(z)在上连续，则函数f(z)在上有界，即存在常数M,使对于，都有|f(z)|≤M.DzDDD在闭曲线或包含曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上有界，即|f(z)|≤M.§2.2解析函数的概念1.复变函数的导数00Δ(Δ)()wfzzfz00Δ0Δ0(Δ)()ΔlimlimΔΔzzfzzfzwzz00000Δ0(Δ)()d()dlim().ddΔzzzzzfzzfzfzwfzzzz定义2.4（导数的定义）设函数w=f(z)定义在z平面上区域D内，点z0、z0+zD,,若极限存在,则称函数f(z)在z0可导,这个极限值称为f(z)在z0的导数,记作若函数f(z)在区域D内每一点都可导，则称函数f(z)在区域D内可导.例2.4求函数f(z)=zn（n为正整数）的导数.解：Δ0Δ01122121Δ0111d(Δ)()(Δ)limlimdΔΔlim(ΔΔΔ),nnzznnnnnnnnnnznnnwfzzfzzzzzzzCzCzzCzzCzCznz1().nfznz说明zn(n为正整数)在整个z平面上处处可导.例2.5考察函数f(z)=在整个z平面上的可导性.1z解：当z≠0时，0022011()()limlim11lim,()zzzfzzfzzzzzzzzzz=21()(0).fzzz函数在整个z平面上除去原点外处处可导.例2.6研究函数f(z)=在整个z平面上的可导性.z解：令z=x+iy,ΔΔΔzxiyΔ0Δ0Δ0Δ0Δ0(Δ)()ΔΔlimlimlimΔΔΔΔΔΔlimlim,ΔΔΔzzzzzfzzfzzzzzzzzzzzxiyzxiy让沿着平行于x轴的直线趋于z，此时ΔzzΔ0yΔ0Δ0ΔΔΔlimlim1ΔΔΔzxxiyxxiyx让沿着平行于y轴的直线趋于z，此时ΔzzΔ0xΔ0Δ0ΔΔΔlimlim1ΔΔΔzyxiyiyxiyiy函数在整个z平面上处处不可导.000Δz若函数f(z)在点z0可导，根据导数的定义，用极限语言来表达，即:对于,必定,使得当时，有000(Δ)()()Δfzzfzfzz令000(Δ)()(Δ)()Δfzzfzzfzz于是(Δ)z则有Δ0lim(Δ)0zz又因为000(Δ)()()Δ(Δ)Δ,fzzfzfzzzz所以00Δ0lim(Δ)()zfzzfz即f(z)在z0连续.常用的求导公式与法则(1)(C)'=0其中C为复常数;(2)(zn)'=nzn-1,其中n为正整数;(3)(f(z)±g(z))'=f'(z)±g'(z);(4)(f(z)g(z))'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z);(5);(6)(f(g(z)))'=f'(w)g'(z),其中w=g(z);(7)若两个单值函数w=f(z)与z=h(w)互为反函数，且h'(w)≠0,则有.2()1(()()()())()()fzfzgzfzgzgzgz1()()fzhw2.解析函数的概念定义2.5若函数f(z)在点z0及z0的邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0解析.若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称函数f(z)在区域D内解析，或称f(z)是D内的解析函数.若f(z)在点z0不解析，但在z0的任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点.例2.7研究函数f(z)=zRe(z)的解析性.解：设z=x+iy,z0=x0+iy0.当z0≠0时，则00000Re()Re()ΔlimlimΔzzzzzzzzwzzz000000000000000000Re()Re()Re()Re()limRe()Re()Re()Re()limlimlim.zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzxxxzzz00000Re(