66高考技巧非数同学必须会的特殊积分

第一部分---------------------------欧拉积分Ⅰ.伽马函数与Bata函数的几个基本公式·············3Ⅱ.常见类型的几个例子····························4Ⅲ.几个变式的分析································5第二部分---------------------------留数在定积分中的应用Ⅰ.复变的一些基本知识····························9Ⅱ.多值函数，奇点，留数，留数理论的基本概念······11Ⅲ.四个重要引理··································15Ⅳ.利用留数（围道积分法）解几类常见的定积分······16附：几个特殊积分·································331第三部分---------------------------随意收集的一些东东(非本人所写)Ⅰ.泊松积分的几种简便证明······················34Ⅱ.关于Dirichlet积分的十种计算方法·············35Ⅲ.关于积分中“不可积”问题探究················41Ⅳ.反函数法求定积分····························46Ⅴ.巧用二重积分求解定积分之例说················50Ⅵ.利用级数计算定积分··························56Ⅶ.带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用······60Ⅷ.不定积分的待定系数法························64Ⅸ.三类基本的椭圆积分··························67Ⅹ.广义高斯函数及其积分问题····················74Ⅺ.定积分计算方法总结··························79Ⅻ.含参变量积分（较多，所以放在最后）···········912345678910111213141516171819202122232425262728293031323334©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.35©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.36©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.37©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.38©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.39©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.40关于积分中“不可积”问题探究提到积分，首先要明确不定积分是用来求原函数，定积分是用来求无穷项加和，莱布尼兹公式把它们神奇的联系起来。从高等数学里面，我们学习到被积函数只要连续，其必定存在原函数。但是为什么会出现“不可积”的问题呢？首先我们来看几个“不可积”积分的例子。222sincostan1.,,,tan(),(),(),sincostansin,cos,tan(cocos(sin)(,nnnnnnnxxxdxdxdxxxdxxxxxxxdxdxdxxxxxdxxdxxdxxxdx三角积分类.菲涅尔积分类型）贝塞尔积分）222ii0s(1,3.,.E()1ln4.,,lnsin,lncos,lntan.()ln1lnaxbxcnaxbxcaxaxntxnxxnxdxxedxxedxeexedxdxdxxdtxaxetdxxdxdtxdxxdxxdxxxxt拉普拉斯积分）2.高斯积分类.指数积分类型.，其中对数积分类型.其中L2222ln(sin),ln(cos),ln(tan)lnlnsin,lnlncos,lnlntan,115.,1-sin,,1(31-sin1nnabxdxabxdxabxdxxdxxdxxdxdxkxdxdxxdxnkxx椭圆积分类：）它们”不可积”主要是因为它们的原函数不能表示成初等函数的形式，现阶段只能表示成级数的形式。现在就出现一个问题，到底它们能不能积分呢？答案是确定的，由于一些特殊函数以及复数的出现，使得基本所有的积分都成为了可能。下面列举了几个“不可积”积分的积分算法。第一个例子是一个指数积分221121221222lnlnln1lnlnln(1)1(1)121ln(1)lnlnln(1)21(1)lnlnln(1)21()lnlnln(1)21lnlnln(1)()2ln2xtexkkkkkxtdtttdxdtdxttdtettttttttdttttttdtkttttktttLitxx2(1)()xxeLieC41第二个例子是一个欧拉积分22222222cos2lnsinlnsinlnsinsin2lnsin2(1)221[()22ln(1)]22(2ixixixixixixixixixixixixixixixixixixeexxdxxxxdxxxxdxeexieexxixdxeeeeeixixdxixdxxidxeeeeeiixLiexixeiLie22222222200)ln(1)2lnsinlnsincotlnsin[()]ln(1)2lnsinlncosln22ixixixixixxeixdxxxxxdxxxLiexxeCxdxxdx特别的,第三个例子狄拉克雷积分222220++200sin1sin2sincos)sin()sinsin2sin2(2)2sin()sinsin+==)22xxxxxdxxddxxxxxxxxdxSixCxxxtSixdtttxSidtdxtx（其中特别的（），（第四个例子是高斯积分2222()001()()21()22(),()1()1()21,()222axaxxxxedxedaxerfaxaaerfaxCaerfxedxerfcxerfxaedxerf其中特别的当从上面例子看出，虽然这些积分“不可积”，但我们依旧可以通过一般的方法将它们表示出来，显然这样也就出现了许多特殊函数。从这个角度来看，基本所有的连续函数都是可积的，都可以通过初等或者特殊函数来表示。说了这么多特殊函数，下面来介绍几个简单的特殊函数。422111100100111()()1.BetaB(a,b)(1)(a,b0)(1)()2.Gamma(),0)23.()14.zeta(s)15.eta(s)=(1)aababtaxxskkskxabxxdxdxxabaetdtaerfxedxkk几个简单的特殊函数函数=，其中都函数(其中误差函数函数狄拉克雷函数11(12)(s)6.Polylog)Li()sknnkxxk多重对数函数(其他还有一些像椭圆函数，超几何分布函数，贝塞尔函数这里不做介绍了。最后留几个问题1024402202011.lnln2.lnlntan3.lnsin4.()sin5.sincoslnsinlncosdxxxdxxdxxdxxxxxxxdx43问题的解答：1ln1002lntan22004(21)2000011(21)11.lnlnln*'(1)ln*ln2.lnlntan1*(1)1(1)ttxttxtttaaxkkxaxxxkktatkxdxtedtCxtetxdxdtdteeexxeLetIdxdxexdxeeeet(1100011000000(1)(1)21)(21ln1(1)ln(2k1)'['(1)*](21(21ln1(1)ln(2k1)'(0)['(1)*]21211['(1)*],[214kaakkaxxaakxxkkkadtkkxxaIdxaeekkxIdxeekkCk）））其中4424(1)ln(2k1)(1)]ln()32144()43()4lnlntanln()4kCkxdx404440002240044004400403.lnsinGC=lncotlncoslnsinK=lnsin2lnsin2[lncoslnsinln2]42(lncoslnsin)ln2ln222lnc(a)osxtxdxxdxxdxxdxxdxtdtxdxxdxxdxxdxxdx我们知道卡特兰常数有一个定义令得到404040lnsin=ln221ablnsin=-ln2+)221lnco(bs=ln2+)22)xdxxdxCxdxC结合，得到（（-4422222200022004.cot2cotsin2sin2lnsinsinln2xdxxdxxxdxxxdxxdxx220022002021212025.lnsinlncossincos()lnsinlncossincos2lnsinlncossincoslnsinlncossincos4=lnsinlncossincos(sin)(cos)B8(aaxxxxxdxxxxxxdxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxdxab得到令a我们知道：B(a,b)=2则有2121201220sin)(cos)lnsinlncos=B(a,b){[((a)-(a+b))(((b)-(a+b))](a+b)}1Ba=1b=1lnsinlncossincos=*1,148=[((1)-(32aaxxxxdxxxxxxdxab带入，得到（）32121202))(2)]=1619211(s+1)-(s)=,(2)=(2)11(2)6nsn其中WrittenbyRolle2014.12.845[]2007-02-04第25卷第3期大学数学Vol.25,.32009年6月COLLEGEMATHEMATICSJun.2009傅湧(,336000)[].[];;;[]O172.2[]C[]1672-1454(2009)03-0157-04,,.1f(x)[a,b],x=f-1(y),=f(a),=f(b),baf(x)dx=b-a-f-1(y)dy..f(x)[a,b],x=f-1(y)[,],x=f-1(y)[,].[a,b]T:a=x0x1xn-1xn=b,[,]T:=y0y1yn-1yn=,1nk=1f-1(yk-1)yk=nk=1xk-1(yk-yk-1)=-nk=1yk(xk-xk-1)+xnyn-x0y0=-nk=1ykxk+b-a.x=f-1(y)