2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第十四章 推理与证明第1~2节

第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理✎考纲解读1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异.✎知识点精讲1.合情推理合情推理含归纳推理和类比推理两种基本推理方法.（1）归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理.（2）类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理.2.演绎推理演绎推理就是根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理.常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理.特别是“三段论”推理，其模式为：（1）大前提——已知的一般结论.（2）小前提——所研究的特殊情况.（3）结论——根据一般结论，对特殊情况做出判断如下.①若，则有性质；②检验，；③故具有性质✎题型归纳及思路提示题型165归纳推理SM'SMSP'S.P【例14.1】(2012湖北理13)回文数十指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等，显然2位回文数有9个：11,22,33，···，99.3位回文数有90个：101,111,121,···，191,202，···，999.则(1)4位回文数有_____个.(2)2𝑛+1(𝑛∈𝐍∗)位回文数有_____个.【分析】本题可以通过归纳推理，结合计数原理求解.【解析】从左右对称入手考虑.4位回文数第1,4位取相同且非零数有C91=9(种)不同的取法，第2,3位可取0，有C101=10(种)不同的取法.即4位回文数有90个.由题意可知，首位与末位不能取0，故有9种，其余各位置关于中间数对称，每两个都有10种方法，正中间数也有10种方法，故2𝑛+1(𝑛∈𝐍∗)位回文数有9×10𝑛个.【评注】本题实际上可以通过归纳推理求解，即找规律.【例14.2】(2012江西理6)观察下列各式:𝑎+𝑏=1,𝑎2+𝑏2=3,𝑎3+𝑏3=4,𝑎4+𝑏4=7,𝑎5+𝑏5=11,···，则𝑎10+𝑏10=（）.A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的等式的特点可观察发现，等式左端的值,从第三项开始，后面一项是前面两项之和，照此规律，则有：1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，···，所以𝑎10+𝑏10=123.故选C.【评注】本题也可以通过演绎推理得出正确答案，𝑎+𝑏=1,𝑎2+𝑏2=3可知，2𝑎𝑏=−2，即𝑎𝑏=−1；所以𝑎10+𝑏10=(𝑎5+𝑏5)2−2𝑎5𝑏5=112+2=123.题型166类比推理【例14.6变式1】已知点𝑃(𝑥0,𝑦0)是抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)上的一点，过点𝑃的切线方程的斜率可通过如下方式求解：在𝑦2=2𝑝𝑥两边同时对𝑥求导，得2𝑦𝑦′=2𝑝,则𝑦′=𝑝𝑦，所以过点𝑃的切线斜率𝑘=𝑝𝑦0.类似于上述方法，求出双曲线𝑥2−𝑦22=1在点𝑃(2,2)处的切线方程.将双曲线的方程化为𝑦2=2𝑥2−2，类比上述方法两边同时对𝑥求导,得2𝑦𝑦′=4𝑥【解析】本题重点考查了类比推理和复合函数求导的运算，当然本题也可以通过圆锥曲线与直线的位置关系求解.整理得2𝑥−𝑦−2=0.【评注】因此切线方程为𝑦−2=2(𝑥−2).则𝑦′=2𝑥𝑦，即过点𝑃(𝑥0,𝑦0)的切线斜率𝑘=2𝑥0𝑦0=222=2,【例14.8】已知正三角形内切圆半径是高的13，把这个结论类比到正四面体中，类似的结论应该是______.【解析】正三角形内切圆和正四面体内切球这两类对象的相似特征为“正三角形内切圆圆心到正三角形三边等距，正四面体内切球球心到正四面体四个面等距”，这就是类比转化的条件所在，如图所示，由性质知正三角形内切圆圆心𝑂1也是正三角形的垂心，𝑂1在𝐵𝐶边的高𝐴𝐷上，连接𝑂1𝐴,𝑂1𝐵,𝑂1𝐶.∆𝑂1𝐴𝐵≅∆𝑂1𝐵𝐶≅∆𝑂1𝐴𝐶,CO1DBA如图所示，类比正四面体𝐴𝐵𝐶𝐷内切球球心𝑂2在四面体的高𝐴𝐻上，连接𝑂2𝐴,𝑂2𝐵,𝑂2𝐶，𝑂2𝐷,𝑂2−𝐴𝐷𝐶≅𝑂2−𝐴𝐵𝐶≅𝑂2−𝐴𝐵𝐶≅𝑂2−𝐵𝐶𝐷，𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷=4𝑉𝑂2−𝐵𝐶𝐷,13𝑆∆𝐵𝐶𝐷∙𝐴𝐻=4×13𝑆∆𝐵𝐶𝐷∙𝑂2𝐻⇒𝑂2𝐻=14𝐴𝐻.故类似的结论为：正四面体内切球半径是高的14.𝑆∆𝐴𝐵𝐶=3𝑆∆𝑂1𝐵𝐶⇒12𝐵𝐶∙𝐴𝐷=3×12𝐵𝐶∙𝑂1𝐷⇒𝑂1𝐷=13𝐴𝐷.HABDO2C【评注】设正三角形的边长为𝑎，高为ℎ，内切圆半径为𝑟,外接圆半径为𝑅，则𝑎:ℎ:𝑟：𝑅=1:32:36:33,其中𝑟:𝑅=1:2，即圆心将高线分成的线段比为1:2，同理，设正四面体的棱长为𝑎，高为ℎ，内切圆半径为𝑟，外切球半径为𝑅，则𝑎:ℎ:𝑟：𝑅=1:63:612:64,其中𝑟:𝑅=1:3，即球心将高线分成的线段为1:3.′第二节证明✎考纲解读1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法.了解反证法的思考过程、特点.3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.✎知识点精讲1.直接法直接法包括综合法和分析法.（1）综合法：从已知条件和结论出发，以演绎推理中的“三段论”规则为工具，推出未知结论，其模式为（2）分析法：从欲证结论出发，对结论进行等价变形，建立未知结论和已知“条件，结论”的因果关系，其模式为：欲证成立即证成立，即证成立，即要成立，因成立故成立.,,.ABBCCDAD成立“”DCBAAD2.间接法分类讨论法（肯定或排除）间接法即反证法，就是证明欲证命题的等价命题——逆否命题.其模式为：欲证若则，等价证则，可设不成立，推出不成立或与某已成立结论矛盾设不成立为错，故成立.3.数学归纳法（1）数学归纳法也叫完全归纳法，可用来证明某些与自然数有关的数学命题，其直观模型为“多米诺骨牌”.（2）数学归纳法的证题格式①先证当（为某一个初始自然数，常取）时命题成立（第一块“多米诺骨牌”倒下）.②假设时命题成立，并在此前提下可以推出时命题也成立（每次倒下的骨牌具有“前倒推后倒”的功能）.③由①②，命题对一切的自然数恒成立.数学归纳法的完成，①，②，③步缺一不可.pqqpqpqq0nn0n01n0nkkn…1nk0nn…✎题型归纳及思路提示题型167综合法与分析法证明【例14.9变式3】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶成等差数列，其对边分别为𝑎，𝑏，𝑐.求证：1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐.【解析】（分析法）从结论出发，化简之：1𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐=3𝑎+𝑏+𝑐可等价变形为𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐=3.即𝑐𝑎+𝑏+𝑎𝑏+𝑐=1，即𝑏𝑐+𝑐2+𝑎2+𝑎𝑏=𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏2+𝑏𝑐，即𝑎2+𝑐2=𝑎𝑐+𝑏2为欲证，由题意，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶成等差数列，则2∠𝐵=∠𝐴+∠𝐶=180°−∠𝐵，故∠𝐵=60°，cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=12，即𝑎2+𝑐2=𝑎𝑐+𝑏2成立.故原等式成立.【例14.10变式1】已知函数𝑓𝑥=ln1+𝑥−𝑥.（1）求𝑓𝑥的单调区间；（2）记𝑓𝑥在区间0,𝑛𝑛∈𝐍∗上的最小值为𝑏𝑛，令𝑎𝑛=ln1+𝑛−𝑏𝑛.①对一切𝑛∈𝐍∗，不等式𝑎𝑛𝑎𝑛+2−𝑐𝑎𝑛+2恒成立，求实数𝑐的取值范围；②求证：𝑎1𝑎2+𝑎1𝑎3𝑎2𝑎4+⋯+𝑎1𝑎3…𝑎2𝑛−1𝑎2𝑎4…𝑎2𝑛2𝑎𝑛+1−1.【解析】（1）（综合法）定义域𝑥∈−1,+∞，𝑓′𝑥=11+𝑥−1=−𝑥1+𝑥，𝑥∈−1,0时，𝑓′𝑥0，𝑥∈0,+∞时，𝑓′𝑥0，故函数𝑓𝑥在−1,0上单调递增，在0,+∞上单调递减.（2）由（1）得函数𝑓𝑥在0,𝑛上单调递减，故𝑓𝑥在0,𝑛上的最小值𝑏𝑛=𝑓𝑛=ln1+𝑛−𝑛，故𝑎𝑛=ln1+𝑛−ln1+𝑛−𝑛=𝑛.①对一切𝑛∈𝐍∗，不等式𝑎𝑛𝑎𝑛+2−𝑐𝑎𝑛+2恒成立，即𝑛𝑛+2−𝑐𝑛+2恒成立.⇒𝑐𝑛+2𝑛+2−𝑛=2𝑛+2𝑛+2+𝑛.=21+𝑛𝑛+2=21+1−2𝑛+2.因为2𝑛+2在𝑛∈1,+∞)上单调递减，所以1−2𝑛+21，则21+1−2𝑛+21，故𝑐的取值范围是(−∞,1.②𝑎1𝑎2+𝑎1𝑎3𝑎2𝑎4+⋯+𝑎1𝑎3…𝑎2𝑛−1𝑎2𝑎4…𝑎2𝑛，因为1×3×⋯×2𝑛−12×4×⋯×2𝑛212×32×52×⋯×2𝑛−121×3×3×5×5×7×⋯×2𝑛−12𝑛+1=12𝑛+14𝑛22𝑛+12𝑛−1=4𝑛2−1.=12+1×32×4+⋯+1×3×⋯×2𝑛−12×4×⋯×2𝑛（必须放大求和）.即证：11+13+15+⋯+12𝑛+12𝑛+1（*）记𝑏𝑛=−2𝑛+1，12𝑘+1𝑛𝑘=0故𝑎1𝑎2+𝑎1𝑎3𝑎2𝑎4+⋯+𝑎1𝑎3…𝑎2𝑛−1𝑎2𝑎4…𝑎2𝑛13+15+⋯+12𝑛+1.依题意，利用分析法：则𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=12𝑛+3−2𝑛+3+2𝑛+1=22𝑛+3+2𝑛+3−22𝑛+3+2𝑛+10.所以数列𝑏𝑛单调递减（单调性法）.故数列𝑏𝑛的最大值𝑏1=1+13−3=3−2330.故𝑏𝑛𝑏10⇒式（*）成立⇒欲证式成立.【例14.12变式1】若𝑎，𝑏，𝑐均为实数，且𝑎=𝑥2−2𝑦+π2，𝑏=𝑦2−2𝑧+π3，𝑐=𝑧2−2𝑥+π6，求证：𝑎，𝑏，𝑐中至少有一个大于0.【分析】本题所证问题包括多种情况，但结论的反面是唯一的，用反证法较好.题型168反证法证明【解析】假设𝑎，𝑏，𝑐都不大于0，即𝑎≤0，𝑏≤0，𝑐≤0，则𝑎+𝑏+𝑐≤0，而𝑎+𝑏+𝑐=𝑥2−2𝑦+π2+𝑦2−2𝑧+π3+𝑧2−2𝑥+π6.=𝑥−12+𝑦−12+𝑧−12+π−3，因为π−30，且𝑥−12+𝑦−12+𝑧−12≥0，所以𝑎+𝑏+𝑐0，与𝑎+𝑏+𝑐≤0矛盾，因此假设错误，即𝑎，𝑏，𝑐中至少有一个大于0.题型169数学归纳法【例14.13】用数学归纳法证明：1−12+13−14+⋯+12𝑛−1−12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+⋯+1𝑛+𝑛𝑛∈𝐍∗.【解析】②假设𝑛=𝑘时，等式成立，即左边=右边.①𝑛=1时，左边=1−12=12，右边=11+1=12，1−12+13−14+⋯+12𝑘−1−12𝑘=1𝑘+1+1𝑘+2+⋯+1𝑘+𝑘.则当𝑛=𝑘+1时，左边=1−12+13−14+⋯+12𝑘−1−12𝑘+12𝑘+1−12𝑘+1=1𝑘+1+1𝑘+2+⋯+1𝑘+𝑘+12𝑘+1−12𝑘+2，=1𝑘+1+1+1𝑘+1+2+⋯+1𝑘+1+𝑘−1+1𝑘+1+𝑘+1𝑘+1−12𝑘+2，=1𝑘+1+1+1𝑘+1+2+⋯+1𝑘+1+𝑘+1𝑘+1+𝑘+1=右边.故𝑛=𝑘+1时等式也成立.由①，②得，1−12+13−14+⋯+12𝑛−