数字电路-第二章-逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础主要内容⒈逻辑函数及其表示方法⒉逻辑代数的基本公式和规则⒊逻辑函数的化简几个基本概念⒈逻辑：⒉逻辑代数：⒊逻辑状态：⒋逻辑变量：⒌逻辑函数：⒍逻辑电路：指事物的规律性和因果关系。逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、美丑、真假、有无、高低、开关等。代表逻辑状态的符号，取值0和1。输出是输入条件的函数，有一定的因果关系。电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。§1基本逻辑运算及逻辑函数表示方法一、“与”运算（逻辑乘）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“与”逻辑。打开有两个串联开关的灯。例1：+uABF打开有两个串联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0⒉真值表全部输入条件的所有组合与输出的关系。ABF真值表例2：+uABF由“与”运算的真值表可知“与”运算法则为：00=010=001=011=1有0出0全1为1000110110001⒊表达式逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为“”或“”。两变量的“与”运算可表示为：F＝AB或者F=AB简写为：F＝AB读作：F等于A与B4．逻辑符号ABF&国标惯用国外ABFABF二、“或”运算（逻辑加）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件中，有一个或以上的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“或”逻辑。打开有两个并联开关的灯。例：A+uBF⒉真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0ABF000011101111真值表例：由“或”运算的真值表可知“或”运算法则为：0＋0=01＋0=10＋1=11＋1=1有1出1全0为0A+uBF⒊表达式逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“＋”或“”。两变量的“或”运算可表示为：F＝A＋B或者F=AB读作：F等于A或B4．逻辑符号国标惯用国外FAB≥1ABF＋ABF三、“非”运算（逻辑非）⒈定义：某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种逻辑关系叫“非”逻辑。如下电路中灯的亮灭。例：+uKF⒉真值表打开上例电路中的灯。设开关为k，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0真值表例：由“非”运算的真值表可知“非”运算法则为：KF011001=10=+uKF⒊表达式“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－”或“¬”，“非”运算可表示为：F=A或F=¬A读作“F等于A非”，意思是若A＝0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。4．逻辑符号国标惯用国外FA1AFFA四、常用的复合逻辑运算1．与非ABF001011101110FABFABF&ABF=AB2．或非ABF001010100110F1ABFABABFF=A+B3．异或ABF000011101110F=1ABFABFABF=AB＝AB＋AB特点：A、B相同为0，A、B不同为14．同或ABF001010100111F=ABFABFABF=A⊙B＝AB＋AB=AB特点：A、B相同为1，A、B不同为05．与或非F＝AB＋CD&ABFCD1ABFCD+ABFCD五、逻辑函数的表示方法ABY0000111011101．真值表Y=AB＝AB＋AB2．逻辑式1001ABY3．逻辑图AABB＋YABAB六、逻辑函数表示方法的互相转换1．真值表逻辑式ABCF00000011010101101001101011001111ABCABCABCF=ABC+ABC+ABC+ABCABC①从真值表中找出使F=1的那些输入变量取值②把每一组变量取值写成对应的乘积项，取值为0的那些变量写成反变量，为1的写成原变量③把乘积项相加即得逻辑式F2．逻辑式真值表例：函数F=AB+ACABCF0000010100111001011101111111其余补00000方法：把A、B、C所有取值列出来，对应每一种取值，将它代入逻辑式，计算F，结果填入表中3．逻辑式逻辑图ABABF＋ABABF=AB＝AB＋AB4．逻辑图逻辑式ABABF＋ABABF＝AB＋AB§2逻辑代数的基本公式和规则一、基本公式⒈基本运算与或00＝00＋0＝001＝00＋1＝110＝01＋0＝111＝11＋1＝11=00=1非数值与数值的关系⒈基本运算（续）0A＝00＋A＝A1A＝A1＋A＝1变量与数值的关系0－1律A＝AAA＝AA＋A＝AAA＝0A＋A＝1变量与变量的关系⒉与普通代数相类似的公式A(B＋C)＝AB＋AC,A＋BC＝(A＋B)(A＋C)交换律结合律分配律A＋B＝B＋AA＋(B＋C)＝(A＋B)＋C重叠律对合律、非非律⒊逻辑代数的特有公式吸收律:A＋AB＝AA(A+B)＝AA＋AB＝A+BA(A+B)＝AB摩根定理:A＋B＝ABAB＝A＋B包含律:AB+AC+BC＝AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)尾部变换:AB＝AAB⒋两种常用的运算⑴异或:AB＝AB＋AB⑵同或:A⊙B＝AB＋AB变量相异为1,反之为0变量相同为1,反之为0A0＝AA1＝AA⊙0＝AA⊙1＝AAB＝A⊙BA⊙B＝ABAB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！⒌证明方法真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。代数法：应用已证明的公式、定理来推导。例1证明摩根定理:A＋B＝ABAB＝A＋B证：用真值表法证明。ABAB0001111010110110010111110000BAABBA同理可证A＋B＝AB例2：证明AB＝A⊙BA⊙B＝AB1+0＝10+0＝0110+0＝00+1＝1010+0＝01+0＝1100+1＝10+0＝000AB＋ABAB＋ABA⊙BABBA证：用真值表法证明。证毕CAABBCCAAB=证明：BCAACAABBCCAAB)(=推广之：1吸收吸收例3：证明包含律CAABBCAABCCAAB==ACABBCAABBCD(G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB===C二、基本规则⒈反演规则F＝(A+B)(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根据反演规则可得到:如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。F即:“”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。例2：已知则),(EDCBAF=)]([EDCBAF=EDCBAF=例3：已知则CBBCAABF=)()()(CBCBABAF=长非号不变与变或时要加括号？⒉对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。即:“”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“”,“1”,“0”,不变例:0=CBAF)1('=CBAF求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。推理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F’和G’也相等。例:证明包含律：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证:已知AB＋AC＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证毕CAB)(===CABABCBAABCBCAAB例：如CBACBCABA=)()()()(则f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝1任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用D+EF代替A，则该等式仍然成立，即：(D+EF)(B+C)=(D+EF)B+(D+EF)C由式(A+A=1)，故同样有等式：⒊代入规则§3逻辑函数的公式化简法一．逻辑式的基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：CAABF=CAABCAAB==CABACBBACAAACABA)()(===))((CABACABA==CABACABA==))((与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式二、逻辑函数的最简形式1）表达式中与项的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个与项中的变量个数最少。函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：例：Y=A+AC+ABY=A+C三、常用的化简方法1、并项法利用公式AB+AB=A，（A、B可以是任何复杂的逻辑式）例：Y=ABC+ABC+AB=AB+AB=A三、常用的化简方法2、吸收法利用公式A+AB=A，（A、B可以是任何复杂的逻辑式）例：Y=（AB+C）ABD+AD=AD三、常用的化简方法3、消去法a、利用公式A+AB=A+B，（A、B可是任何复杂的逻辑式）例：Y=AB+AC+BC=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C3、消去法b、利用公式AB+AC+BC=AB+AC，（A、B、C可以是任何复杂的逻辑式）例:Y=ABCD+(A+B)E+CDE=ABCD+ABE+CDE=ABCD+ABE三、常用的化简方法4、配项法a、利用公式A+A=A，（A可以是任何复杂的逻辑式）例：Y=ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=BC+AC4、配项法b、利用公式A+A=1，（A可以是任何复杂的逻辑式）例:Y=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+BC(A+A)=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=AB+BC+ACCDDACABCCAF=简化例：)()(DDACBCCAF=)()(DACBCA=CDACABCA=CDABCCA=)(CDACDB)A(==1BABAA=解：DBDBCBCBCAABF=简化例：)(GFADEDBDBCBCBCBAF=解：)(GFADE)(GFADEDBDBCBCBA=DBDBCBCBA=)()(CCDBDBCBDDCBA=DCBDBCDBCBCDBDCBA=CBDBDCA=BABAA=例：CBBCBAABF=)(CBBCBAAB=）（反演CBBCAABCCBACBAAB=被吸收被吸收CBBBCAAB=)(CBCAAB=CBAABCCCBAAB=)()(配项该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。代数化简法一.最小项及其性质⑴最小项及最小项表达式定义如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项，也叫标准积。假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式。§4用卡诺图表示逻辑函数两变量A、B的最小项:ABABABAB三变量A、B、C的最小项:ABCABCABCABCABCABCABCABCABCCABBCACBACBAF=),,(：例如最小项表达式编号规则:原变量取1,反变量取0。(2)最小项编号m0m1m2m3m4m5m6m7ABCABCABCABCABCABCABCABC0001000000000101000000010001000000110001000010000