2015第1部分专题1第4讲利用导数求参数的取值范围

热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华第4讲利用导数求参数的取值范围热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华高考定位由含参函数的单调性、极值、最值求参数的取值范围是近几年高考命题的重点，试题难度较大．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点一已知函数的单调性求参数的取值范围【例1】(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．解(1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx(x＞0)，∴f′(x)＝2x＋1－1x＝2x－1x＋1x，x∈0，12，f′(x)＜0，x∈12，＋∞，f′(x)＞0，∴f(x)的减区间为0，12，增区间为12，＋∞.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)f′(x)＝2x＋a－1x.∵f(x)在区间(0,1]上是减函数，∴f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立，即2x＋a－1x≤0对任意x∈(0,1]恒成立，∴a≤1x－2x对任意x∈(0,1]恒成立．令g(x)＝1x－2x，∴a≤g(x)min，易知g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华规律方法(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)0(或f′(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练1】已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解之，得a＝－1.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是－13，1.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点二与函数极值、最值有关的求参数范围问题[微题型1]与极值点个数有关的求参数的取值范围【例2－1】已知函数f(x)＝ax2－ex，a∈R，f′(x)是f(x)的导函数(e为自然对数的底数)．若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．解法一若f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根．f′(x)＝2ax－ex＝0，显然x≠0，故2a＝exx.令h(x)＝exx，则h′(x)＝x－1exx2.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华若x＜0，则h(x)单调递减，且h(x)＜0.若x＞0，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在(0,1)上递减，当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)min＝h(1)＝e.要使f(x)有两个极值点，则需满足2a＝exx在(0，＋∞)上有两个不同解，故2a＞e，即a＞e2，故a的取值范围为e2，＋∞.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华法二设g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，则g′(x)＝2a－ex，且x1，x2是方程g(x)＝0的两个根，当a≤0时，g′(x)＜0恒成立，g(x)单调递减，方程g(x)＝0不可能有两个根；当a＞0时，由g′(x)＝0得x＝ln2a，当x∈(－∞，ln2a)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(ln2a，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴gmax(x)＝g(ln2a)＝2aln2a－2a＞0，解得a＞e2.故a的取值范围是e2，＋∞.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华规律方法极值点的个数，一般是使f′(x)＝0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型2]与逻辑联结词有关的求参数范围问题【例2－2】(2014·湖北八市联考改编)定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足：g(x)＋2g(－x)＝ex＋2ex－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.(1)求g(x)和h(x)的解析式；(2)对于∀x1，x2∈[－1,1]均有h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成立，求a的取值范围．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)∵g(x)＋2g(－x)＝ex＋2ex－9，①g(－x)＋2g(x)＝e－x＋2e－x－9，即g(－x)＋2g(x)＝2ex＋1ex－9，②由①②联立解得：g(x)＝ex－3.∵h(x)是二次函数，且h(－2)＝h(0)＝1，可设h(x)＝ax(x＋2)＋1.由h(－3)＝－2，解得a＝－1，∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x2－2x＋1.∴g(x)＝ex－3，h(x)＝－x2－2x＋1.热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6，F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3.依题意知：当x∈[－1,1]时，φ(x)min≥F(x)max.∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，易知F′(x)在[－1,1]上单调递减，∴F′(x)min＝F′(1)＝3－e＞0，∴F(x)在[－1,1]上单调递增，∴F(x)max＝F(1)＝0.∴φ－1＝7－a≥0，φ1＝a＋3≥0，解得－3≤a≤7.∴实数a的取值范围为[－3,7]．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华规律方法有关两个函数在各自指定的范围内的不等式的恒成立问题(这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的)，就应该通过最值进行定位，对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于f(x)min≥g(x)max，列出参数所满足的条件，便可求出参数的取值范围．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华【训练2】(2014·洛阳模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋b在x＝2处的切线方程为y＝9x－14.(1)求a，b的值及f(x)的单调区间；(2)令g(x)＝－x2＋2x＋m，若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x2)．求实数m的取值范围．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)f′(x)＝3x2－3a，由已知，得f2＝4，f′2＝9，即8－6a＋b＝4，12－3a＝9.解之，得a＝1，b＝2.∴f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．故函数f(x)在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)由(1)知f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，∵f(0)＝2＜f(2)＝4，∴f(x)max＝4.又g(x)＝－x2＋2x＋m在区间[0,2]上，g(x)max＝g(1)＝m＋1，由已知对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x)2，则有f(x)max＜g(x)max.则4＜m＋1，∴m＞3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华含参数的不等式恒成立、存在性问题(1)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)min；(2)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，都有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)max；(3)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)max≥g(x)min；(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)max≥g(x)max.