第6章-弯曲变形

第六章梁弯曲时的位移第一节概述第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分第三节叠加法求梁的位移第四节梁的刚度校核提高梁的刚度措施第五节梁内的弯曲应变能第一节概述一.研究弯曲变形的目的1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。工程实例车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P工程实例3.求解超静定问题。2.利用弯曲变形在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。1.梁的挠曲线deflectioncurve：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。梁弯曲时的位移BAB1Fyx二.基本概念注:(1)平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑；(2)梁的挠曲线是弹性曲线；(3)以挠曲线的曲率度量弯曲变形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系:曲率公式的特征：(1)公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变形的影响。(2)等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段圆弧线。(3)等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。EIxMxk)()(12.梁位移的度量：②挠度deflection：梁横截面形心的竖向位移v。单位：mm。向上的挠度为正。①转角rotation：梁横截面绕中性轴转动的角度q。单位：rad，逆时针转动为正。③挠曲线方程：挠度是位置坐标的函数—v=f(x)BAB1Fxqqvyx④转角方程(小变形下)：转角是位置坐标的函数。转角与挠度的关系—)x('fdxdvtgqq)(xqq一、挠曲线近似微分方程deflectionequationEIxMx)()(11.力学关系：2.数学依据：''1)(1232vvvx3.挠曲线近似微分方程：)(''xMEIv第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分yxMM00vM，x00vM，yMM曲线v=f(x)的曲率为梁平面弯曲时曲率：EIxMvvvx)()1()(12/32二、积分法求梁的挠曲线挠曲线方程。—转角方程；—再积分一次积分一次211))(()('CxCdxdxxMEIvEICdxxMEIvq2.支承条件与连续条件:)(''xMEIv1.式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。1)支承条件：2)连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的CxCxCxCxvv||||qq，梁弯曲时的位移y0vy0vy0;0vvFABC①建立坐标系，确定支反力。②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。④利用边界条件、连续条件确定积分常数。如果分n段写出弯矩方程，则有2n个积分常数⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。⑥确定最大挠度和最大转角。3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：qmaxfmax21321262-2')()(CxCFxFLxEIvCFxFlxEIvxlFxMEIv次：列挠曲线方程并积分两00|00|'2010CvCvxx，得：；，得：数：由边界条件决定积分常)3(6)2(2'2xlEIFxvxlEIFxvq为：转角和挠曲线方程分别EIFLvfEIFLBB3-23max2maxqq解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：梁弯曲时的位移例一图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。yxFBAlx)()(xlFxM例二求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。FabClABxFAFB解：1、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIv122'ClFbxEIv)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIv)(-2222)(2-'ClFbxaxFEIv1136DxClFbxEIv22336)(6-DxClFbxaxFEIv)(6-0;000;''2221212121blEIlFbCCvlxDDvxDDvvCCvvax，得处，，得处，，则，则时，)3(6'222xblEIlFbv)](31)([2'2222blxaxblEIlFv)(6222xblEIlFbxv])()([62233xblxaxblEIlFv)0(axAC段)(lxaCB段梁弯曲时的位移梁挠曲线大致形状的绘制步骤：(1)绘制梁的弯矩图。(2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由M的方向确定轴线的凹凸性。(3)根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、协调性，确定挠曲线的大致形状及位置。注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲率也最大。第三节叠加法求梁的位移梁弯曲时的位移说明：1.在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。3.若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。2.当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表求出各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。如果不能直接查表，则要采用分段刚化法将其化成可查表形式。梁弯曲时的位移例三如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。FBA2/l2/lqCvBqvCqqBFvBPFBABAqC1.在F作用下：EIFlfEIFlBFBF3,232q查表：2.在q作用下：EIqlEIlqfEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllvvEIqlCqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqBFBvvvqqq3.在F和q共同作用下：例若图示梁B端的转角θB=0，求力偶矩m和P的关系？解：EIPaB2-2q02EIammPa4例7.求外伸梁C处的位移。LaCABP解：ABCP刚化EI=PCvc1BC引起的位移θc1EIpavc331EIpac221q刚化AB刚化BC，AB部分引起的位移CABP刚化EI=vc2θB2PPaθB2aEIPaLavBc3-22q223cBEIpaLqq21cccvvv21cccqqq一、梁的刚度校核除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：10001~2501lv梁的刚度条件为：qqmaxmaxlvlv通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。第四节梁的刚度校核梁弯曲时的位移例四一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160MPa，许用挠度[v]=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。解：1、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：由此得由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。mN10354410354：得33maxFlM3463maxm1019.2101601035MWz500483lEIFlz459232m1092.210200484103550048500EFlIz梁弯曲时的变形F=35kN2mAB2ml=4mM4/Fl例题悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa，梁的许可挠度[ω/L]=1/500。试选择工字钢的型号。aL2BACaL2q1.按强度选择maxMW232qa36.140cm查表：选16号工字钢34141,1130cmWcmIzz2.按刚度选择aL2BACaL2qqBACq321maxBBBZBEIaq8241ZEIqa42CB2ZEIqa84aCBq3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaL48413max5001LEqaIZ2425041343050cm查表：选22a号工字钢34309,3400cmWcmIzz纯弯曲时梁的弯曲应变能为：EIlMV22横力弯曲时梁的弯曲应变能为：lxEIxMVd22梁弯曲时的位移第五节梁内的弯曲应变能FBAl例五计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度vB，已知梁的弯曲刚度为EI。解：1、梁任一截面的弯矩为：2、弯曲应变能为：3、计算B点的挠度xlFxMEIlFFvVWB62132llEIlFxEIxlFxEIxMV0322226d2d2EIFlvB33vB基本静定系1lqABqABFBqBAMA基本静定系2超静定问题用“多余未知力”代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统,亦称基本静定系。第六节简单超静定梁qABl例4.已知:q,l,求图示静不定梁的支反力。解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：ABqlABqFB0Bv08343EIqlEIlFB83qlFB1、钢筋缠绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力()。①与圆滚筒的半径无关②与圆滚筒的半径成正比③与圆滚筒的半径近似成反比④与圆滚筒的半径严格成反比③分析：yERrErRrEyEmaxmax2、等抗弯刚度梁发生平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在()处。①转角最大②挠度最大③剪力最大④弯矩最大④分析：zEIxMx)()(13、与小挠度微分方程相对应的坐标系为（）？)(xMvEIzxy(a)xy(b)xy(c)①、(a)和(c)(d)xy②、(c)和(d)③、(a)和(d)④、(a)和(b)②分析：y坐标向下5不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（）。FAB①2倍②4倍③8倍④16倍③分析：EIFlvB336.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（）。FAB①2倍②4倍③8倍④16倍①分析：EIFlvB33llFABC7弯曲刚度为EI梁，正确说法为（）。①A、B、C处转角相等②B、C处转角不相等③B处挠度为C处的二倍④B处和C处转角相同④8.弯曲刚度为EI的梁，B处转角等于（）。①②③④llFABCFEIFlB2qEIFlB252q0BqEIFlB353q②9.图示力偶矩,则梁B端的转角为（）。4Pam0BqEIPlB322qEIPlB232qEIPlB2qA①、②、③、④、10.一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，自由端的挠度与（）。①梁的长度成正比②梁的长度的平方成正比③梁的长度的立方成正比④梁的长度的四次方成正比④分析：EIqlv8411.简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下，跨中在相同的外力作用下，二者的（）不同。①最大挠度②最大转角③约束反力④最大正应力分析：③显然不选;①、②性质上并列④分析：113max148IEFlw223max248IEFlw112max116IEFlq222max216IEFlq2211IEIE梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁