专题一 函数与导数综合题的解答

专题一函数与导数综合题的解答本节目录专题探究突破热点知能演练轻松闯关目录专题探究突破热点方法综述在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值一般占12～14分，所以做好函数与导数解答题尤其重要．试题多以函数知识为载体设置，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，充分体现导数的工具性，一般试题难度较大．目录专题探究专题1用导数研究函数的性质导数和函数结合是近年来各套试题的命题热点，主要考查利用导数判定一些函数的单调性、求函数的极值和最值，这是研究函数性质的强有力的工具，并且具有普遍的适用性．(2012·高考湖北卷节选)设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值．例1目录【解】(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1nn＋1－x.令f′(x)＝0，解得x＝nn＋1，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0＝nn＋1.目录在0，nn＋1上，f′(x)0，故f(x)单调递增；而在nn＋1，＋∞上，f′(x)0，故f(x)单调递减．故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为fnn＋1＝nn＋1n·1－nn＋1＝nnn＋1n＋1.目录专题2导数、函数与不等式用导数的方法研究不等式的关键是通过构造函数，然后研究这个函数的单调性、极值、最值以及通过函数在整个区间上的函数值和极值、最值以及特殊点的函数值的比较解决不等式．(2012·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0.例2目录【解】(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a0时，f′(x)＝12x－a6x＋a6，此时函数f(x)的单调递增区间为－∞，－a6和a6，＋∞，单调递减区间为－a6，a6.(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|2－a|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.当a2时，f(x)＋|2－a|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.目录设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6x－33x＋33，于是g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：x00，333333，11g′(x)－0＋g(x)1减极小值增1目录所以，g(x)min＝g33＝1－4390.所以，当0≤x≤1时，2x3－2x＋10.故f(x)＋|2－a|≥4x3－4x＋20.目录专题3恒成立及求参数范围问题恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．(2012·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值．例3目录【解】(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．f′(x)＝1－1x＋a＝x＋a－1x＋a.由f′(x)＝0，得x＝1－a－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－a,1－a)1－a(1－a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.目录(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln20，故k≤0不合题意．当k0时，令g(x)＝f(x)－kx2，即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.g′(x)＝xx＋1－2kx＝－x[2kx－1－2k]x＋1.令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1－2k2k－1.①当k≥12时，1－2k2k≤0，g′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立．故k≥12符合题意．目录②当0k12时，1－2k2k0，对于x∈0，1－2k2k，g′(x)0，故g(x)在0，1－2k2k内单调递增．因此当取x0∈0，1－2k2k时，g(x0)g(0)＝0，即f(x0)≤kx20不成立．故0k12不合题意．综上，k的最小值为12.目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放