专题一---恒成立与存在性问题

(1)恒成立问题1.∀x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA；2.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)maxA.3.∀x∈D,均有f(x)g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)0∴F(x)min04.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0∴F(x)max﹤05.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)ming(x)max6.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)g(x2)恒成立，则f(x)maxg(x)min(2)存在性问题1.∃x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x)maxA；2.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x)minA3.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)∴F(x)max04.∃x0∈D,使得f(x0)g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)∴F(x)min05.∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)min6.∃x1∈D,∃x2∈E,均使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)max(3)相等问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{f(x)}{g(x)}(4)恒成立与存在性的综合性问题1.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)min2.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)max(5)恰成立问题1.若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.的取值范围。求使得均存在若对任意）设（的单调区间；求已知函数axgxfxxxxxgxfRaxaxxf),()(],1,0[),,0(,22)(2)()1(ln)(.121212练习的取值范围求都有使得任意的）条件改为：对任意若本题（axgxfxx)()(]1,0[),,0(221213240,25..yxaxa若函数＝－＋在内单调递减，则实数的取值范围为　3220240,23200,2|00|231.40xxyxaxyxaxayya＝＝因为函数＝－＋在内单调递减，所以＝－在内恒成立，＝解析：所以所以，－2．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为__________．押题依据本题以不等式恒成立为背景，考查了函数的导数，函数的单调性和奇偶性．突出考查了转化与化归的能力．难度稍大，有较好的区分度，故押此题．押题级别★★★★★解析∵f′(x)＝3x2＋10恒成立，故f(x)在R上是增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．由f(mx－2)＋f(x)0得f(mx－2)－f(x)＝f(－x)，∴mx－2－x，mx－2＋x0在m∈[－2,2]上恒成立．记g(m)＝xm－2＋x，则g(－2)0，g(2)0，即－2x－2＋x0，2x－2＋x0，得－2x23.答案－2，23返回(2)(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．[2－2，2＋2]B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)[答案]B[例2](2011·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围为()A．(－∞，1－32]B．[1＋32，＋∞)C．(－∞，1－32]∪[1＋32，＋∞)D．[1－32，1＋32][答案]C2.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[32，＋∞)，f(xm)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围[解析]∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)，f(xm)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对x∈[32，＋∞)恒成立．即(xm)2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立.即(1m2－4m2－1)x2＋2x＋3≤0恒成立.即1m2－4m2－1≤－2x－3x2恒成立.g(x)＝－2x－3x2＝－3x2－2x＝－3(1x2＋23x)＝－3(1x＋13)2＋13.∵x≥32，∴0＜1x≤23，∴当1x＝23时，g(x)min＝－83.∴1m2－4m2－1≤－83.整理得12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0.∵3m2＋10，∴4m2－3≥0.即：m≥32或m≤－32.(2)已知f(x)=lnx:①设F(x)=f(x+2)-，求F(x)的单调区间；②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.2xx1【解题指南】(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为恒成立，进一步转化为成立.2x1ln3ma4m2x12maxminx1(ln)(3ma4m)2x1(2)①F(x)=ln(x+2)-定义域为：(-2,-1)∪(-1,+∞).F′(x)==令F′(x)＞0，得单调增区间为和令F′(x)＜0，得单调减区间为和2xx12212(x1)2x12x2(x1)x2(x1)2222(x1)2(x2)x3,(x2)(x1)(x2)(x1)(2,3)(3,)(3,1)(1,3)②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为：ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即≤3ma+4-m2.现在只需求y=(x∈[0,1])的最大值和y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.因为在[0，1]上单调递减,所以y=(x∈[0,1])的最大值为0,x1ln2x1x1ln2x1x1112x122(2x1)x1ln2x1而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：解得0≤m≤1或-1≤m＜0，所以m的取值范围是[-1，1].2203m4m03m4m,3m03m0或＜[常考题型汇总][例1](1)(2011·东城模拟)函数f(x)＝－x＋1，x0，x－1，x≥0，，则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是()A．{x|－1≤x≤2－1}B．{x|x≤1}C．{x|x≤2－1}D．{x|－2－1≤x≤2－1}[答案]C已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的范围．1、三种基本形式：解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4＞0，将点C(7,9)代入z得最大值为21.(2)z＝x2＋y2－10y＋25表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝92.(3)z＝2×y－－12x－－1表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－12)连线的斜率的两倍，因此kQA＝74，kQB＝38，故z的范围为[34，72]．[例3](2011·湖南高考)设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)[答案]A2、求参数的取值范围：变式：思考：若目标函数取得最大值的点有无数个，则a的取值范围方法技巧(1)平面区域：用二元一次不等式(组)表示平面区域．具体步骤是：①画线；②定“侧”；③求“交”(交集，即公共区域)．(2)线性规划问题解题步骤：①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条l；②平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；③求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值．易误提醒作图——重要准确，整点问题要验证解决.[常考题型汇总][例5](2011·陕西高考)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜bB[解析]法一：代入a＝1，b＝2，则有0＜a＝1＜ab＝2＜a＋b2＝1.5＜b＝2.法二：我们知道算术平均数a＋b2与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可．[答案]B[例6](1)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5(2)(2011·浙江高考)若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．C[答案]233[解析]依题意得1a＋4b＝12(1a＋4b)(a＋b)＝12[5＋(ba＋4ab)]≥12(5＋2ba×4ab)＝92，当且仅当a＋b＝2，ba＝4ab，a0，b0，，即a＝23，b＝43时取等号，即1a＋4b的最小值是92.[答案]C[解析]∵xy≤14(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－14(x＋y)2＝34(x＋y)2.∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x＋y≤233.当x＝y＝33时，x＋y取得最大值233.[答案]233[冲关智囊必备]知识溯源已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24(简记：和定积最大)．方法技巧在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．