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目录第一讲差倍问题第二讲和差倍中隐藏的条件第三讲蜗牛爬行第四讲日期问题第五讲还原问题第六讲最不利原则第一讲差倍问题小热身画出线段图并求出(1)小高和墨莫一共挖了60个土豆，且小高是墨莫挖的3倍，那么墨莫挖了多少个土豆?(2)小高和墨莫跳绳，一共跳了40个，且小高比墨莫多跳10个，那么墨莫跳了多少个?知识精讲我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。画图时一般选取较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然后求出一段所代表的量。这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间的倍数及差的问题。例题1：学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人?练习1：阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆买的瓜的重量是阿瓜的2倍，而且阿呆比阿瓜多买了9斤，他们两人一共买了多少斤西瓜?在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。那么在差倍问题中，这种方法还适用吗？例题2：羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的5倍多2只，且羊比狼多42只。请问：羊村里羊和狼分别有多少只?练习2：狼村里住了一些狼和羊，狼比羊多23只，且狼的数量比羊的3倍多1只。请问：狼村有多少只狼?例题3：米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的3倍少4个，且唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠多20个。请问:唐老鸭挖了多少个土豆?练习3：阿呆的高思积分比阿瓜的多150分，且阿呆的高思积分比阿瓜的4倍少30分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分?有暗差的差倍问题，做题一般步骤:(1)先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍。(2)接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差。(3)然后将现差或原差通过画线段图的方法画出来，曾在移多补少与等量代换中学习过。(4)画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系。(5)审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。例题4：有块数一样多的两盒糖，第一盒放入8块，第二盒拿走18块，这时第一盒的糖是第二盒的3倍，这两盒原来各有多少块糖?练习4：有两款价格一样的大小冰箱，夏季大促销，大冰箱的价格下降了100元，小冰箱的价格下降了400元，这时大冰箱的价格是小冰箱的2倍。请问：这两款冰箱原来的价格是多少元?选做题阿呆和阿瓜原来的苹果一样多，现在阿呆给阿瓜12个苹果，结果阿瓜的苹果比阿呆的3倍少2个.两个人原来各有多少个苹果?课堂内外长颈鹿（学名：Griaffacamelopardalis）是一种生长在非洲的反刍偶蹄动物。拉丁文名字的意思是“长着豹纹的骆驼”。它们是世界上现存最高的陆生动物。一般的长颈鹿站立时由头至脚可达4.8—5.5米，体重约1200千克，刚出生的幼仔就有1.7米左右高;皮毛颜色花纹有斑点和网纹型，头的额部宽，吻部较尖，耳大竖立，头顶有1对骨质短角，角外包覆皮肤和茸毛;颈特别长(约2米左右)，颈背有1行鬃毛；体较短；四肢高而强健，前肢略长于后肢，蹄阔大;尾端为黑色簇毛。牙齿为原始的低冠齿，不能以草为主食，只能以树叶为主食；舌较长，可以用于取食。生活于非洲稀树草原地带，是草食动物，以树叶及小树枝为主食.在野外长颈鹿的寿命为27年左右，动物园里的能活超过29年，主要分布在非洲的埃塞俄比亚、苏丹、肯尼亚、坦桑尼亚和赞比亚等国。第二讲和差倍中的隐藏条件小热身阿朵和阿瓜去包子铺买包子，一其买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿朵，阿朵不高兴了，把自己的包子分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿朵，最后给了阿朵一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子?以上面的故事你能得到什么样的结论?总结:。知识精讲之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段。例题1：米老鼠和唐老鸭一共有32颗糖，米老鼠给了唐老鸭一些糖后，米老鼠是唐老鸭的的3倍，那么此时唐老鸭有多少颗糖?练习1：阿朵和阿瓜一40张积分卡，阿朵给了阿瓜若干张，此时阿朵的张数是阿瓜的4倍，那么此时阿朵有多少张积分卡？例题2：小高和墨览玩游戏，每玩一局，输的都要给赢的一枚棋子。一开始小高有18枚棋子，墨莫则有22枚棋子。玩了若干局之后，小高反而比墨莫多了10枚棋子。请问：此时小高有多少枚棋子？练习2:有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水。现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后(水没有溢出)，大瓶里的水量变成了小瓶的2倍。请问:从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶?例题3：爷爷比爸爸大20岁，当爷爷是爸爸年龄3倍时，爸爸多少岁?练习3：大冰箱比小冰箱多1000元，因为春节促销，大小冰箱的价格都下降了同样多的钱，大冰箱的价格是小冰箱的6倍时，小冰箱多少元?例题4：小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米，他把两根绳子剪去同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米.请问:两根绳子各剪去了几米?练习4：两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，“喳喳”吃的比较短，只有25厘米。它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2倍，请问:此时短面条还剩多少厘米？前面4道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形:“和不变”与“差不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下:给来给去和不变，同增同减差不变小判断小山羊把10捆草分给大山羊，不变量:。两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量:。小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了250元，不变量:。儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量:。选做题阿呆和阿瓜一共有130元钱。每包瓜子5元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜把自己的钱两人平分。这时阿呆的钱是阿瓜的5倍请问:后来阿呆有多少元?课堂内外爱迪生与电灯爱迪生是美国人，生于1847年。他从小很喜欢问大人“为什么”，让大人无法回答。5岁时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶走，自己蹲在那里，想帮母鹅孵蛋，爱迪生进小学读了3个月，老师说他是低能儿，他只好回家靠妈妈的教导及自修努力学习。爱迪生13岁时在火车上边卖报边做实验。一次意外实验的时候磷倒了出来，烧坏了车箱地板，他被管理员打伤右耳，从此成了半个聋子。他23岁到纽约闯天下，发明了一部电报机，赚了40000美元，辞掉工作专心研究。爱迪生在1879年10月21日发明电灯。他每天工作超过18小时以上，不停地努力，不断发明有用的东西。他在美国拥有1093项专利。有人认为他是天才，他认为天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的努力，他有很大的勇气和坚强的毅力承受失败的打击，也常常鼓励别人。他到80岁还在研究他完全不懂的植物。第三讲蜗牛爬行小热身请看开篇漫画中的小蜗牛，请你在下图中画出每个时间点小蜗牛的位置，用黑点表示，直到它爬出井口为止，最后用线段将黑点依次连出。知识精讲同学们看看没画中的小蜗牛，它在第几天爬出井呢?其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口，井不会往下滑了，所以在考虑周期的时候候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期。当实际问题并不是一个完整的周期问题时，一定要先把周期之外的问题考虑好。再计算周期相关的问题。比如一串数1，2，3，4，34，3，4…,计算这个数列的相关问题时，一般要先排除掉前两个数的影响，即有头周期，要先“砍头”。比如在钢牛爬井问题中，爬出井口的那天不需要再下滑，所以要先去掉最后一天的影响，即有尾周期，要先“去尾”,注意最后的周期是否完整。例题1：桌子上有6块巧克力糖，第一天阿呆吃掉了2块，第2天妈妈又放4块巧克力，第三天阿呆又吃掉了2块，第四天妈妈又放上4块，……如此不停循环下去，第6天后桌子上有多少块巧克力糖？练习1：菜地里有7根成熟的胡萝卜，第1天白兔妈妈挖出3根，第2天又有4根胡萝卜成熟了，第3天白免妈妈又挖出3根，第4天又有4根胡萝卜成熟了，……照这样下去，到第6天后，菜地里有多少根成熟的胡萝卜?例题2：一只蜗牛在一口15米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，但是在晚上又往下滑1米，请问:这只蜗牛在第几天能爬出这口井?练习2：一只蜗牛在一口10米深的井底，如果它每个白天往上爬3米，但是在晚上又往下滑2米，请问:这只蜗牛在第几天能爬出这口井?例题3：工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨，……如此不停地循环下去。第几天的时候，仓库里的货物才会被运完?练习3：砖头厂有50块砖头，第一天白天运进10块，晚上运出20块，第二天白天运进10块，晚上运出20块，……如此不停地循环下去，第几天的时候，砖头厂里的砖头才会被运完?例题4：工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。第一天，卡车从仓库里运出60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50吨，……如此不停地循环下去，第几天的时候，仓库里的货物才会被运完?练习4:砖头厂有50块砖头，第一天白天运出20块，晚上运进10块，第二天白天运出20块，晚上运进10块，……如此不停地循环下去,第几天的时候，砖头厂里的砖头才会被运完?选做题桌子上原本放着6块巧克力，第1天阿朵吃掉了2块。第2天妈妈又放了4块巧克力，第3天阿呆又吃掉2块，第4天妈妈又放上4块，……如此不停循环下去，请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力?(请写出所有的可能)课堂内外里斯与蜗牛爬井里斯(1880-1956)，匈牙利数学家，泛函分析创始人之一，1907年他和菲舍尔相互独立地得到著名的“里斯一菲舍尔定理”，阐明了可积函数的空间同平方和收敛序列的希尔伯特空间等价，是早期量子论数学理论基础方面的一个重大贡献。此外，他在点集拓扑、遍历理论、正交函数系、傅里叶分析、解析丽数边界值问题、位势论、函数逼近论、积分方程、半序向量空间理论等方面都有建树，同时他还是著名的教育家，培养了许多优秀的数学家。据说，里斯曾出过这样一道数学题:井深20尺，蜗牛在井底，白天爬7尺，夜里降2尺，几天可以到达井顶?聪明的小朋友，你试着算一算吧!第四讲日期问题小热身一星期是7天，所以是7天一周期。请完成下表，在空白处写出是星期几：3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日3月10日3月11日3月12日3月13日3月14日知识精讲在周期问题中，还有一类非常经典的题型，即和日期相关的题型。比如同学们最熟悉的星期，我们经常需要去计算一些和星期有关的问题。例题1：如果今天是星期六，再过60天是星期几？练习1：如果今天是星期四，再过30天是星期几?小总结四年一闰，百年不闰，四百年再闰。间年:2月有29天，一年366天。平年:2月有28天，一年365天。大月小月的判断：一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差；拳头法：要知道哪个月有多少天，可用拳头帮助记忆，凸起的地方每月是31天，凹下的地方每月是30天(二月除外)。下面的歌诀，可以帮我们记住有31天的月份。一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差。接下来我们来学习如何判断某一年是闰年还是平年，如1921年，不是4的倍数，所以一定是平年。如1924年，是4的倍数，但不是100的倍数，所以一定是闰年，如1700年，是4的倍数，是100的倍数，但不是400的倍数，所以一定是平年。如2000年，是4的倍数，是100的倍数，也是400的倍数，所以一定是闰年。小判断四年一闰，百年不闰，四百年再闰。判断下面哪此年份是闰年?哪些年份是平年?(1)1949年是。(2)1900年是。例题2:2033年2月1日是星期二，请问:2033年2月的最后一天是是期几?练习2:2052年2月1日是星期四，请问:2052年2月的最后一天是星期儿?例题3:2052年3月1日是星期五，请何:2052年4月