电力系统潮流的计算机算法

电力系统基础湖南大学：帅智康2011年2月第六章电力系统潮流的计算机算法6.1潮流计算的数学模型6.1.1节点功率平衡方程及定解条件（1）基本方程节点电压方程：YV=I6.1潮流计算的数学模型6.1.1节点功率平衡方程及定解条件（1）基本方程应有：△Pi=0△Qi=0★(i=1,2,…,n)节点功率不平衡量方程式6.1潮流计算的数学模型6.1.1节点功率平衡方程及定解条件(1)基本方程c)特点：维(阶)数高；关于e、f、或V、δ非线性6.1潮流计算的数学模型6.1.1节点功率平衡方程及定解条件（2）定解条件与节点分类定解条件：每个节点，2个变量给定(已知)，另外2个变量待求节点分类：PQ节点--给定：Pis，Qis；待求：Vi、δi(或ei、fi)PV节点--给定：Pis，Vis；待求：Qis、δi(或Qis、ei、fi)平衡(Vθ)节点--给定：Vis，δis(或eis、fis)；待求：Pis、Qis6.1潮流计算的数学模型6.1.1节点功率平衡方程及定解条件（4）潮流计算应当注意的基本问题6.1.2潮流计算的约束条件6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.1基本原理(1)单变量非线性代数方程的牛顿迭代算法①修正方程设非线性方程：f(x)=0x(0)为近似解——与真解的误差：△x(0)真解：x=x(0)+△x(0)则f(x(0)+△x(0))=0将f(x(0)+△x(0))在x(0)附近泰勒展开：(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2(n)(0)(0)nf(x+Δx)=f(x)+f(x)Δx+f(x)(Δx)2!++f(x)(Δx)n!+=0忽略二次及以上高次项：(0)(0)(0)(0)(0)f(x+Δx)=f(x)+f(x)Δx=0(0)(0)(0)f(x)+f(x)Δx=0(0)(0)(0)f(x)=-f(x)Δxor修正方程关于△x(0)线性修正量——△x(0)：(0)(0)(0)Δx=-f(x)f(x)新的近似解：(1)(0)(0)(0)(0)(0)x=x+Δx=x-f(x)/f(x)6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.1基本原理(1)单变量非线性代数方程的牛顿迭代算法②迭代格式：修正方程：修正量：新的近似解：(k)(k)(k)f(x)+f(x)Δx=0(k)(k)(k)Δx=-f(x)/f(x)(k+1)(k)(k)(k)(k)(k)x=x+Δx=x-f(x)/f(x)k=0→x(0)：迭代初值△x(0)：初始修正量③几何意义：用x(k)点的切线(直线)代替f(x)——一次线性近似！——非线性函数逐段线性化，无限逼近真解！解序列：{x(k)}k=1,2,…k→∞，x(k)→x*——理论真解——“迭代”，求非线性方程的数值解6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.1基本原理(2)n阶非线性方程组的牛纯法：①修正方程：F(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)]T=0；x=[x1,x2,…,xn]T=0112ni12nn12nf(x,x,,x)=0f(x,x,,x)=0f(x,x,,x)=0,1122nn1122nn1122nn(0)(0)(0)(0)(0)(0)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)i(0)(0)(0)(0)(0)(0)nf(x+Δx,x+Δx,,x+Δx)=0f(x+Δx,x+Δx,,x+Δx)=0f(x+Δx,x+Δx,x+Δx)=0(0)(0)(0)(0)(0)(0)111112n12n12n000(0)(0)(0)(0)(0)(0)iiii12n12n12n000(0)(0)(0)nn12nffff(x,x,,x)+Δx+Δx+Δx=0xxxffff(x,x,,x)+Δx+Δx+Δx=0xxxff(x,x,,x)+(0)(0)(0)nn12n12n000ffΔx+Δx+Δx=0xxx(0)(0)(0)11121112000(0)(0)(0)121200(0)(0)(0)12(,,,)(,,,)(,,,)nniniiinnfxfxfxfxxxfxxxfxfxfxfxxx(0)1(0)20(0)12000nnnnnnxxxfxfxfx1(0)(0)(0)111211121000(0)212000(0)12000(,,niiinnnnnnfxfxfxfxxxxfxfxfxxfxfxfx(0)(0)(0)(0)12(0)(0)(0)12,)(,,,)(,,,)ninnnxfxxxfxxx矩阵形式6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.1基本原理(2)n阶非线性方程组的牛纯法：①修正方程：6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.1基本原理(2)n阶非线性方程组的牛纯法：②迭代格式：修正方程：F(x(k))+[J(k)]△x(k)=0OrF(x(k))＝－[J(k)]△x(k)修正量：△x(k)＝－[J(k)]-1F(x(k))新的近似解：x(k+1)＝x(k)+△x(k)其中F(x(k))＝[f1(x(k)),f2(x(k)),…,fn(x(k))]T△x(k)＝[△x1(k),△x2(k),…,△xn(k)]Tx(k)＝[x1(k),x2(k),…,xn(k)]Tx(k+1)＝[x1(k+1),x2(k+1),…,xn(k+1)]T雅可比矩阵()()()()()()()()()111211212kkkkkkkkkniiinnnnnfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxx(k)(k)xxxxxxJ=J(x)=6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.1基本原理(2)n阶非线性方程组的牛纯法：6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(1)修正方程：i=1,…,m；方程个数：2mi=m+1,…,n-1方程个数：2(n-1-m)c)平衡节点(i=n，1个)，Vis、δis＝0给定，无需不平衡方程d)节点方程个数：2(n-1);待求变量：ei、fi，i=1,…,m,m+1,…,n-1共2(n-1)②修正方程：△W——节点不平衡量向量△W=－J△V△V——节点电压修正量向量J——雅可比矩阵③迭代格式——修正方程：△W(k)＝－J(k)△V(k)修正量：△V(k)＝－[J(k)]-1△W(k)k——迭代次数新近似解：V(k+1)＝V(k)+△V(k)①节点不平衡量方程：Vi=ei+jfi，Yij=Gij+jBij6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(1)修正方程：④修正方程的结构：W=－J△Va)节点不平衡量TiiiΔW=ΔPΔQPQ节点：i=1,2,…,mPV节点：i=m+1,…,n-1T2iiiΔW=ΔPΔVb)节点电压修正量i=1,…,n-1TiiiΔV=ΔeΔfc)雅可比矩阵i=1,…,mPQ节点：ijijijijijPePfQeQfJPV节点：22ijijijijijPePfVeVfJi=m+1,…,n-16.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(1)修正方程：④修正方程的结构：W=－J△VC)雅可比矩阵——整体结构6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(2)JacobianMatrix——元素计算：①PQ节点a)i≠j非对角子块：b)i＝j对角子块：②PV节点a)i≠j非对角子块：b)i=j对角子块：()ijijijiijiijiijiijijijijiijiijiijiPePfGeBfBeGfQeQfBeGfGeBfJ1111()()-()()()()-()()nniiikkikkiiiiiiikkikkiiiiiiiikkiinniiikkikkiiiiiiikkikkiiiiiikkiiPPGeBfGeBfGfBeBeGfefQQGfBeBeGfGeBfGeBfefJ22()00ijijijiijiijiijiijijijPePfGeBfBeGfVeVfJ1122()()-()()-2-2iinniiikkikkiiiiiiikkikkiiiiiikkiiiiiiiiPPefGeBfGeBfGfBeBeGfVVefefJ6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(2)JacobianMatrix——元素计算：③计算公式整理i≠j非对角元素：i=j对角元素：22()0ijijijiijiijijijiijijijPeQfGeBfPfQeBeGfVeVf111122()()-()()()()-()()22niiikkikkiiiiiikniiikkikkiiiiiikniiikkikkiiiiiikniiikkikkiiiiiikiiiiiiPeGeBfGeBfPfGfBeBeGfQeGfBeBeGfQfGeBfGeBfVeeVff6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(3)JacobianMatrix——特点：6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.2直角坐标形式的N-R潮流算法(4)潮流计算步骤：P11234567输入原始数据形成节点导纳矩阵Y给定节点电压迭代初值置迭代次数k=0计算节点偏移量计算结束收敛判断？计算J矩阵元素解修正方程求节点电压修正量修正节点电压获得新的近似解计算PVθ、QVθ、QPV；计算线路潮流；计算全网功率损耗迭代次数k=k+1YesNo准备P2P36.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.3极坐标形式的N-R潮流算法(1)修正方程：①节点不平衡量方程：注意：与直角坐标形式比较，方程数减少n-1-m6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.3极坐标形式的N-R潮流算法(1)修正方程：②修正方程：-1PQΔδPHNVΔVQKL1111111111111111111nmnnnnnnmmHHNNPPHHNHQKQ111111111111//nnmmmmmnmmmKLLVVVVKKLLHNJ=KL雅可比矩阵：6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.3极坐标形式的N-R潮流算法(2)雅可比矩阵结构及其元素计算：结构：元素计算：6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6.2.3极坐标形式的N-R潮流算法(3)JacobianMatrix的特点：①阶数＝2×PQ节点数+PV节点数＝n－1+m(直角坐标：J的阶数＝2×(PQ节点数+PV节点数))②J元素是节点电压的函数，数值在迭代过程中变化③{J}与Yij有关，ifYij＝0then对应元素＝0——J的每一分快阵(H、N、K、L)与Y有相同的稀疏结构④J≠JT6.2牛顿－拉夫逊潮流算法6