2019年中国科学技术大学自主招生试题数学含答案

1.32016除以100的余数为．解21．由于32016=91008=(101)1008，有32016(1)1008+C11008
(1)1007
10(mod100);于是3201621(mod100)．2.复数z1;z2满⾜jz1j=2，jz2j=3，jz1+z2j=4，则z1z2的值是．解16p156i．设复数z1;z2;z1+z2在复平面内的对应点分别为A;B;C，则四边形OACB构成平⾏四边形．复数z1z2的模为23，接下来求它的辐角．OxyBAC在△OAC中应用余弦定理，有cosA=22+32422
2
3=14;于是cos\AOB=14，进⽽可得z1z2=23‚14p154iŒ=16p156i:3.⽤S(A)表⽰集合A的所有元素之和，且Af1;2;3;4;5;6;7;8g，S(A)能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的⾮空集合A的个数是．解70．1ÿÿÿÿÿ2019中国科学技术⼤学⾃主招⽣试题2019年6⽉21⽇2016年中国科学技术⼤学⾃主招⽣试题将集合A划分为A1=f1;4;7g;A2=f2;5;8g;A3=f3;6g;于是使得S(A)能被3整除的非空集合A的个数有[(C03+C33)2+(C13)2+(C23)2]
221=87:接下来考虑S(A)能被15整除的非空集合A的个数，此时S(A)=15或S(A)=30．(1)S(A)=15．此时按最⼤元素分别为8;7;6;5分类，分别有5;4;3;1个，共计13个．(2)S(A)=30．此时只需要考虑S(A)=6的情形，共有4个．综上所述，符合条件的非空集合A的个数为87134=70．4.已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则tanA的最⼤值是．解p33．由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得3sinBcosC+cosBsinC=0;即3tanB+tanC=0:于是tanA=tan(B+C)=tanB+tanC1tanB
tanC=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB⩽p33;等号当tanB=p33;tanC=p3时取得．因此tanA的最⼤值为p33．5.若对任意实数x都有j2xaj+j3x2aj⩾a2，则a的取值范围是．解•13;13˜．易知函数f(x)=j2xaj+j3x2aj在x=2a3处取得最小值f2a3‹=jaj3，于是解不等式jaj3⩾a2;得13⩽a⩽13:因此a的取值范围是•13;13˜．6.若a2(4;2)，b2(0;1)，x=(sina)logbsina，y=(cosa)logbcosa，则xy(填;=;)．解．取对数，可得lnx=ln2sinalnb;lny=ln2cosalnb;⽽sinacosa)0lnsinalncosa)ln2sinaln2sinb)ln2sinalnbln2cosalnb;因此lnxlny，从⽽xy．22016年中国科学技术⼤学⾃主招⽣试题7.梯形ABCD中AB∥CD，对⾓线AC;BD交于P1，过P1作AB的平⾏线交BC于点Q1．AQ1交BD于P2，过P2作AB的平⾏线交BC于点Q2，


．若AB=a，CD=b，则PnQn=(⽤a;b;n表⽰)．解aba+bn．如图．ABDCP1Q1P2Q2


设PnQn=xn(n2N)，则x0=CD=b，且1xn=1xn1+1a;于是可得1xn=na+1x0，即xn=aba+bn(n2N)．8.数列fang中an是与pn最接近的整数，则2016∑n=11an=．解4445．记k=round(pn)，则有k=•pn+12˜，即k⩽pn+12k+1;也即k2k+14⩽nk2+k+14;因此a1;a2;


;a2016为1;1|{z}2个;2;2;2;2|{z}4个;


;k;k;


;k|{z}2k个;


;44;44;


;44|{z}88个;45;45;


;45|{z}36个;进⽽可得2016∑n=11an=44∑k=11k
2k‹+145
36=4445:9.已知a;b;c0，a+b+c=3，求证：a2a+pbc+b2b+pca+c2c+pab⩾32．解由均值不等式，有LHS⩾∑cyc2a22a+b+c;再由柯西不等式，有∑cyc2a22a+b+c⩾2(a+b+c)24(a+b+c)=32;因此原不等式得证．32016年中国科学技术⼤学⾃主招⽣试题10.求所有函数f:N!N，使得对任意正整数x̸=y，0jf(x)f(y)j2jxyj．解f(n)=f(1)+n1，其中f(1)2N．根据题意，取y=x+1，则有对任意x2N，均有0jf(x+1)f(x)j2;即jf(x+1)f(x)j=1:考虑到对任意正整数x̸=y，jf(x)f(y)j0，因此f为单射．这就意味着f(x+1)f(x)1或f(x+1)f(x)1(否则必然出现不同的自变量映射到同⼀个正整数)．考虑到象的集合为N，因此f(x+1)f(x)1，进⽽可得f(n)=f(1)+n1，其中f(1)2N．11.求⽅程2x5y
7z=1的所有⾮负整数解(x;y;z)．解(x;y;z)=(1;0;0);(3;0;1)．根据题意，有(1)x(1)y
1z1(mod3);因此x为奇数且y为偶数，设x=2m+1，y=2n，其中m;n2N．于是原⽅程等价于2
4m25n
7z=1．若n̸=0，则2
(1)m1(mod5);⽭盾，于是n=0．此时原⽅程等价于2
4m7z=1．(1)若z=0，则m=0，因此(x;y;z)=(1;0;0)为符合题意的⼀组解．(2)若z̸=0，则(1)z1(mod4);于是z为奇数，设z=2p+1，p2N，则原⽅程等价于2
4m7
49p=1．若p=0，则m=1，因此(x;y;z)=(3;0;1)为符合题意的⼀组解．若p̸=0，则m⩾4，于是7
1p1(mod16);⽭盾．综上所述，原⽅程的所有非负整数解为(x;y;z)=(1;0;0);(3;0;1)．4