.北师大版七年级下册数学培优压轴题一.解答题(共8小题)1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.2.(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD;(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、.CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长..4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=;(直接写结果)(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由;(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)5.如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状,并加以证明.说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2).附加题:如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF.的形状,并说明理由.6.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.7.已知:等边三角形ABC(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:PA+PD+PC>BD..8.认真阅读材料,然后回答问题:我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:(1)多项式(a+b)n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;(2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和.(3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)n(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示)..2018年05月08日wujun的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)1.已知四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.【解答】解:∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,在△ABE和△CBF中,,∴△ABE≌△CBF(SAS);∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,.∴∠ABE=∠CBF=30°,∴AE=BE,CF=BF;∵∠MBN=60°,BE=BF,∴△BEF为等边三角形;∴AE+CF=BE+BF=BE=EF;图2成立,图3不成立.证明图2.延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,在△BAE和△BCK中,则△BAE≌△BCK,∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,∵∠FBE=60°,∠ABC=120°,∴∠FBC+∠ABE=60°,∴∠FBC+∠KBC=60°,∴∠KBF=∠FBE=60°,在△KBF和△EBF中,∴△KBF≌△EBF,∴KF=EF,∴KC+CF=EF,即AE+CF=EF.图3不成立,AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF..2.(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD;(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明..【解答】证明:(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF,∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.∴∠GAE=∠EAF.又∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF.∵EG=BE+BG.∴EF=BE+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE﹣FD.证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF..∵AB=AD,∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD.∴∠GAE=∠EAF.∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD.3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究.已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.【解答】解:(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,∴AC=CD,∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°,∴CD=AC=AB,∴BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;故答案为:DE∥AC;S1=S2;(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,∴BC=CE,AC=CD,.∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN和△DCM中,,∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,此时S△DCF1=S△BDE;过点D作DF2⊥BD,∵∠ABC=60°,F1D∥BE,∴∠F2F1D=∠ABC=60°,∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,∴∠F1DF2=∠ABC=60°,∴△DF1F2是等边三角形,∴DF1=DF2,∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,∴∠CDF1=∠CDF2,∵在△CDF1和△CDF2中,,.∴△CDF1≌△CDF2(SAS),∴点F2也是所求的点,∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,又∵BD=4,∴BE=×4÷cos30°=2÷=,∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,故BF的长为或.4.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时,AP=a;(直接写结果)(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由;(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明).【解答】解:(1)设AP的长是x,则BP=2a﹣x,∴S△APC+S△PBD=x•x+(2a﹣x)•(2a﹣x)=x2﹣ax+a2,当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值,故答案为:a;(2)α的大小不会随点P的移动而变化,理由:∵△APC是等边三角形,∴PA=PC,∠APC=60°,∵△BDP是等边三角形,∴PB=PD,∠BPD=60°,∴∠APC=∠BPD