数列知识点总结

1数列知识点总结数列是高考试题中的重头戏，每年的全国及各地的考题中必有涉及.从内容上看主要考查等差（比）数列的定义、通项、前n项和公式、等差(比)数列的中项及数列的性质，占分值约17分.因此学好数列这块知识显得尤为重要.为了让学生更好地掌握数列，现将等差(比)数列的有关知识归纳总结如下.1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，，成等差数列2Axy前n项和11122nnaannnSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.(6)项数为偶数n2的等差数列na，有2),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaaq.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.注意：由nS求na时应注意什么？1n时，11aS；2n时，1nnnaSS.3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列na，12211125222nnaaan……，求na解1n时，112152a，∴114a①2n时，12121111215222nnaaan……②3①—②得：122nna，∴12nna，∴114(1)2(2)nnnan［练习］数列na满足111543nnnSSaa，，求na注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，∴nS是等比数列，4nnS2n时，1134nnnnaSS……·（2）叠乘法如：数列na中，1131nnanaan，，求na解3212112123nnaaanaaan·……·……，∴11naan又13a，∴3nan.（3）等差型递推公式由110()nnaafnaa，，求na，用迭加法2n时，21321(2)(3)()nnaafaafaafn…………两边相加得1(2)(3)()naafffn……∴0(2)(3)()naafffn……［练习］数列na中，111132nnnaaan，，求na（1312nna）（4）等比型递推公式1nnacad（cd、为常数，010ccd，，）可转化为等比数列，设111nnnnaxcaxacacx令(1)cxd，∴1dxc，∴1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列∴1111nnddaaccc·，∴1111nnddaaccc（5）倒数法4如：11212nnnaaaa，，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，∴11112nnaa∴1na为等差数列，111a，公差为12，∴11111122nnna·，∴21nan4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：na是公差为d的等差数列，求111nkkkaa解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa·∴11111223111111111111nnkkkkkknnaadaadaaaaaa……11111ndaa［练习］求和：111112123123n…………121nnaSn…………，（2）错位相减法若na为等差数列，nb为等比数列，求数列nnab（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为nb的公比.如：2311234nnSxxxnx……①23412341nnnxSxxxxnxnx·……②①—②2111nnnxSxxxnx……51x时，2111nnnxnxSxx，1x时，11232nnnSn……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121nnnnnnSaaaaSaaaa…………相加12112nnnnSaaaaaa……［练习］已知22()1xfxx，则111(1)(2)(3)(4)234fffffff由2222222111()111111xxxfxfxxxxx∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422fffffff