数列知识点总结及题型归纳

1数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1，2，3，4，5，…②：514131211，，，，…说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，…(2)10,9,8,7,6,5,…(3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…（5）数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn例：等差数列12nan，1nnaa(二)、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A．15B．30C．31D．642.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）6703.等差数列12,12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）(三)、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1．（06全国I）设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．75(四)、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；(五)、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例：1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）352.（2009湖南卷文）设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于()A．13B．35C．49D．633.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项25.已知等差数列na的前n项和为nS，若118521221aaaaS，则6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS7.已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d等于()3132．．BAC.31D.328.（2009陕西卷文）设等差数列na的前n项和为ns,若6312as,则na9．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn。(六).对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶naa中；②1SnSn奇偶。1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是225，则它的首项与公差分别是_______(七).对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,,仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。3．已知等差数列na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝A．310B．13C．18D．19(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列②中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列③通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列④前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列例：1.已知数列}{na满足21nnaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na的通项为52nan，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和422nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{na的前n项和22nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列}{na满足0212nnnaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）①求数列na的通项公式；7．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例：1．等差数列na中，12910SSa，，则前项的和最大。2．设等差数列na的前n项和为nS，已知3001213123SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值4．已知数列na的通项9998nn（Nn），则数列na的前30项中最大项和最小项分别是5.已知}{na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列}{na从哪一项开始小于0？（2）求数列}{na前n项和的最大值，并求出对应n的值．(十).利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．1.数列{}na的前n项和21nSn．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}na是等差数列吗？（3）你能写出数列{}na的通项公式吗？2.设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，求数列}{na的通项公式；3.（2010安徽文）设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（）（A）15(B)16(C)49（D）644、2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naqq(一)、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1．在等比数列na中,2,41qa，则na2．在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比数列na中，22a，545a，则8a=5.在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A33B72C84D189(二)、等比中项：若三个数cba,,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23和23的等比中项为()()1A()1B()1C()2D2.（2009重庆卷文）设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=（）A．2744nnB．2533nnC．2324nnD．2nn(三)、等比数列的基本性质，1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),,,(Nqpnm其中4（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D2.在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=3.等比数列{}na的各项为正数，且5647313231018,logloglogaaaaaaa则（）A．12B．10C．8D．2+3log54.（2009广东卷理）已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，