一元二次不等式解法·典型例题

://一元二次不等式解法·典型例题能力素质例若＜＜，则不等式－－＜的解是10a1(xa)(x)01a[]AaxBxa．＜＜．＜＜11aaCxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa11分析比较与的大小后写出答案．a1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a1aaxA11aa例有意义，则的取值范围是．2xx2−−x6分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．例3若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知−=−+=−=−=−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa()()1211122×得ab==−1212，．例4解下列不等式(1)(x－1)(3－x)＜5－2x(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)://(4)3x2−+−−+−31325113122xxxxxx＞＞()()分析将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答(1){x|x＜2或x＞4}(2){x|1x}≤≤32(3)∅(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为51x11−x[]A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x＞1或x＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x000111122−−−−xxxxx∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1．选C．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式≥同解的不等式是60xx−−32[]A．(x－3)(2－x)≥0B．0＜x－2≤1C．≥230−−xxD．(x－3)(2－x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠．()()xxx−−−⎧⎨⎩32020故排除A、C、D，选B．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x320x3(x3)(2x)02x3−−x两边同减去2得0＜x－2≤1．选B．://说明：注意“零”．点击思维例不等式＜的解为＜或＞，则的值为71{x|x1x2}aaxx−1[]AaBaCaDa．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为0()axx−+−111[(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a10a12a1112a−答选C．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例解不等式≥．8237232xxx−+−解先将原不等式转化为3723202xxx−+−−≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，−−−+−+++−2123212314782222xxxxxxxx002xx12(x)022∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1．解集为{x|－3＜x＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．例9已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤，若，求的范围．0}BAa⊆://分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．BAa⊆解易得A＝{x|1≤x≤4}设y＝x2－2ax＋a＋2(*)(1)BBA0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2．(2)B(*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|xxx}{x|1x4}12⊆12a12042a4a201412a22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤aa−−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a1a187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．例10解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0．分析不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．解1°当a＝0时，原不等式化为x－2＜0其解集为{x|x＜2}；2a02(x2)(x)0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22aa{x|2ax2}＜＜；30a12(x2)(x)0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22aa{x|x2x}＜或＞；2a4°当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；5a12(x2)(x)0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22aa://{x|xx2}＜或＞．2a从而可以写出不等式的解集为：a＝0时，{x|x＜2｝；a0{x|2ax2＜时，＜＜｝；0a1{x|x2x}＜＜时，＜或＞；2aa＝1时，{x|x≠2}；a1{x|xx2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．学科渗透例11若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集．分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．baca⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．baca()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a＜0，∴b＞0，c＜0．又×，baacbc=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②bccaac(1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cxbxa0xx022bcac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111xx002bcac://∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．xx0cxbxa0{x|xx}22bcac11解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程．且ax2＋bx＋c＞0解为α＜x＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cxbxa0{x|xx}211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．例解关于的不等式：＜－∈．12x1a(aR)xx−1分析将一边化为零后，对参数进行讨论．解原不等式变为－－＜，即＜，(1a)00xxaxax−+−−111进一步化为(ax＋1－a)(x－1)＜0．(1)当a＞0时，不等式化为(x)(x1)01{x|a1ax1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；aaaa−−−11(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；(3)a0(x)(x1)01{x|x1x}＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．aaaaaa−−−111综上所述，原不等式解集为：当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a0{x|a1ax1}a0{x|x1}a0{x|xx1}−−aa1高考巡礼例13(2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．由可解得＜－或＞，．(1)x1x4(2)∅答填{x|x＜－1或x＞4}．例14(1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[]A．(UA)∩B＝R://．A∪(UB)＝RC．(UA)∪(UB)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查本人带过多份家教，认真负责，多次得到家长表扬。自升入大学开始变做家教，辅导小学·初中·高中各阶段学生，所辅导学生成绩皆有明显提高受到学生家长一致好评。大三开始辅导成人口语，做口语陪练。大四开始在校外带辅导培训班，主要培训新概念英语及出国口语，也辅导过大学英语考研英语。得到学生学校老师及领导好评本人有丰富的教学经验。高中英语家教老师NO.2NO.2NO.2NO.2：海淀区重点中学教师，从事教学工作6年，强调学习技巧，重视英语的综合应用能力，能准确把握教学重点，难点，考点，将沉闷的英语语法和单词用归类法，使学生快速理解记忆，快速提高阅读和写作的能力，对学生要求严格，负责到底，用良好的学习方法来引导学生，曾教授清华附，北大附，首师附等重点中学优秀学生，每位学生都是家长和老师的骄傲，尤善辅导高三英语，提分快，口语好，成功率在99%以上。文章来源：很好