不等式知识点及题型总结

不等式一、知识点：1.实数的性质：0baba；0baba；0baba．2.不等式的性质：性质内容对称性abba，abba．传递性ab且bcac．加法性质abacbc；ab且cdacbd．乘法性质,0abcacbc；0ab，且00cdacbd．乘方、开方性质0,nnabnNab；0,nnabnNab．倒数性质11,0ababab．3.常用基本不等式：条件结论等号成立的条件aR20a0a,aRbR222abab，2()2abab，222()22ababab0,0ba基本不等式：2abab常见变式：2baab；21aaab0,0ba2211222babaabbaab4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a，b都是正数，若ab是实值P，则当a=b=时，和a＋b有最小值2.命题2：已知a，b都是正数，若a＋b是实值S，则当a=b=2s时，积ab有最大值42s.注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1≤x2，则有结论：ax2+bx+c020040aabac或检验；ax2+bx+c020040aabac或检验6.绝对值不等式（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。（2）|b||a||ba|||b||a||7.不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。例：解下列不等式：(1)27120xx；(2)2230xx；(3)2210xx；(4)2220xx．解：(1)方程27120xx的解为123,4xx．根据2712yxx的图象，可得原不等式27120xx的解集是{|34}xxx或．(2)不等式两边同乘以1，原不等式可化为2230xx．方程2230xx的解为123,1xx．根据223yxx的图象，可得原不等式2230xx的解集是{|31}xx．△△0△=0△0图象ax2+bx+c=0的解x=x1或x=x2x=x1=x2=-b/2a无实数解ax2+bx+c0解集{x︱xx1或xx2}{x︱x≠x1}Rax2+bx+c0解集{x︱x1xx2}ΦΦ(3)方程2210xx有两个相同的解121xx．根据221yxx的图象，可得原不等式2210xx的解集为．(4)因为0，所以方程2220xx无实数解，根据222yxx的图象，可得原不等式2220xx的解集为．练习1.（1）解不等式073xx；（若改为307xx呢？）（2）解不等式2317xx；解:(1)原不等式03,0703,07xxxx或{|73}xx(该题后的答案:{|73}xx).(2)1007xx即{|710}xx.8、最值定理设x、y都为正数，则有⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等几种常见解不等式的解法重难点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆典型题例示范讲解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(xf（或0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(xgxfxgxf②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．例：解不等式：（1）015223xxx；（2）0)2()5)(4(32xxx．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(xxx把方程0)3)(52(xxx的三个根3,25,0321xxx顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为3025xxx或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32xxxxxxxxx或∴原不等式解集为2455xxxx或或解下列分式不等式：例：（1）22123xx；（2）12731422xxxx（1）解：原不等式等价于0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx用“穿根法”∴原不等式解集为,62,1)2,(。（2）解法一：原不等式等价于027313222xxxx21213102730132027301320)273)(132(222222xxxxxxxxxxxxxxx或或或∴原不等式解集为),2()1,21()31,(。解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(xxxx0)2()13)(1)(12(xxxx用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(例2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(aaaaa二是根据绝对值的性质：axaxaxaax.,或ax，因此本题有如下两种解法．例：解不等式242xx解：原不等式等价于24)2(2xxx即)2(42422xxxx∴312132xxxx故或．例3：已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时nmnfmf)()(＞0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆f(x+21)＜f(11x)；(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围技巧与方法新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－