考研数学03至10真题WORD版

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)=.(2)曲面与平面平行的切平面的方程是.(3)设,则=.(4)从的基到基的过渡矩阵为.(5)设二维随机变量的概率密度为,则.(6)已知一批零件的长度(单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是.(注:标准正态分布函数值二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设均为非负数列,且,,,则必有(A)对任意成立(B)对任意成立(C)极限不存在(D)极限不存在(3)已知函数在点的某个邻域内连续,且,则(A)点不是的极值点)1ln(102)(coslimxxx22yxz042zyx)(cos02xnxaxnn2a2R1211,01αα1211,12ββ(,)XY(,)fxy60x01xy其它}1{YXPX)1,(N.)95.0)645.1(,975.0)96.1(()fx),(()fx}{},{},{nnncba0limnna1limnnbnnclimnnbannncbnnnncalimnnncblim(,)fxy(0,0)1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx(0,0)(,)fxy(B)点是的极大值点(C)点是的极小值点(D)根据所给条件无法判断点是否为的极值点(4)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II必线性相关(B)当时,向量组II必线性相关(C)当时,向量组I必线性相关(D)当时,向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题:①若的解均是的解,则秩秩②若秩秩,则的解均是的解③若与同解,则秩秩④若秩秩,则与同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量,则(A)(B)(C)(D)三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.(1)求的面积.(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.四、(本题满分12分)将函数展开成的幂级数,并求级数的和.五、(本题满分10分)已知平面区域,为的正向边界.试证:(1).(0,0)(,)fxy(0,0)(,)fxy(0,0)(,)fxy12,,,rααα12,,,sβββsrsrsrsr0xA0xB,ABnm0xA0xB()A()B()A()B0xA0xB0xA0xB()A()B()A()B0xA0xB21),1)((~XYnntX2~()Yn2~(1)Yn~(,1)YFn~(1,)YFnlnyxlnyxxDDADexVxxxf2121arctan)(x012)1(nnn}0,0),{(yxyxDLDsinsinsinsineeeeyxyxLLxdyydxxdyydx(2)六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为).汽锤第一次击打将桩打进地下m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数在内具有二阶导数,且是的反函数.(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.八、(本题满分12分)设函数连续且恒大于零,,,其中,(1)讨论在区间内的单调性.(2)证明当时,九、(本题满分10分)设矩阵,,,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵.sinsin2ee2.yxLxdyydx.0kka(01)rr()yyx),()(,0yxxy()yyx()xxy0))(sin(322dydxxydyxd()yyx23)0(,0)0(yy()fx)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftFttDdxxfdyxftG12)(22)()()(}),,{()(2222tzyxzyxt}.),{()(222tyxyxtD()Ft),0(0t).(2)(tGtF322232223A010101001P1*BPAP2BE*AAE十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为,,.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体的概率密度为其中是未知参数.从总体中抽取简单随机样本,记(1)求总体的分布函数.(2)求统计量的分布函数.(3)如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.:1l032cbyax:2l032acybx:3l032baycx.0cbaX()fx2()2e0x0xx0XnXXX,,,21).,,,min(ˆ21nXXXX()Fxˆ)(ˆxFˆ2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________.(2)已知,且,则=__________.(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)欧拉方程的通解为__________.(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________.(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则=__________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)(B)(C)(D)(8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加(B)在内单调减少(C)对任意的有(D)对任意的有(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛lnyx1yx(e)exxfx(1)0f()fxL222yxLydxxdy2)0(024222xydxdyxdxydx210120001AB**2ABABAE*AAEBX}{DXXP0xdttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,,,,,,,,()fx,0)0(f0()fx)()fx)0,(),0(x()(0)fxf)0,(x()(0)fxf1nnannnalim1nna(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则(D)若级数发散,则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,,则等于(A)(B)(C)(D)0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B)(C)(D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关(B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关(C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于(A)(B)(C)(D)(14)设随机变量独立同分布,且其方差为令nnnalim1nna1nna0lim2nnan1nnannnalim()fxttydxxfdytF1)()()2(F2(2)f(2)f(2)fAABBCAQCQ101001010100101010110001010100001110,ABABOA,BA,BA,BA,BX(0,1),N)10(u}{uXP}{xXPx2u21u21u1u)1(,,,21nXXXn.02,则(A)(B)(C)(D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设,证明.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组niiXnY1121Cov(,)XYn21Cov(,)XY212)(nnYXD211)(nnYXD2eeab2224lnln()ebaba).100.66k,)1(322233dxdyzdzdxydydzxI)0(122zyxz10nxnxnnx11nnx(,)zzxy2226102180xxyyyzz(,)zzxy121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnnaxxxxaxxnnxnxnax试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布.(2)和的相关系数(23)(本题满分9分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量.a12314315aAaA,AB111(),(|),(|)432PAPBAPAB;,,0,1不发生发生AAX.,,0,1不发生发生BBY(,)XYXY.XYX,1,1,0,11),(xxxxFnXXX,,,,121X2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线的斜渐近线方程为_____________.(2)微分方程满足的解为____________.(3)设函数,单位向量,则=.________.(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则____________.(5)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么.(6)从数1,2,3,