考研数学三模拟题

第1页共14页考研数学三模拟题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（1）()fx是在(0,)内单调增加的连续函数，对任何0ba，记()baMxfxdx，001[()()]2baNbfxdxafxdx(中间的加号改成减号)，则必有（）（A）MN；（B）MN；（C）MN；（D）2MN；（2）设函数()fx在(,)内连续，在(,0)(0,)内可导，函数()yyx的图像为则其导数的图像为（）(A)(B)yxOyxOxyO第2页共14页(C)(D)(3)设有下列命题：①若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛；②若1nnu收敛，则10001nnu收敛；③若1lim1nnnuu，则1nnu发散；④若1()nnnuv收敛，则1nnu，1nnv收敛正确的是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④(4)设220ln(1)()lim2xxaxbxx，则（）（A）51,2ab；（B）0,2ab；（C）50,2ab；（D）1,2ab(5)设A是n阶矩阵，齐次线性方程组（I）0Ax有非零解，则非齐次线性方程组（II）TAxb，对任何12(,,)Tnbbbb（A）不可能有唯一解；（B）必有无穷多解；（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设,AB均是n阶可逆矩阵，则行列式1020TAB的值为（A）1(2)nAB；（B）2TAB；（C）12AB；（D）12(2)nAB(7)总体~(2,4)XN，12,,,nXXX为来自X的样本，X为样本均值，则（）yxOyxO第3页共14页（A）2211()~(1)1niiXXnn；（B）2211(2)~(1)1niiXnn；（C）2212()~()2niiXn；（D）221()~()2niiXXn；(8)设随机变量,XY相互独立且均服从正态分布2(,)N，若概率1()2PaXbY则（）（A）11,22ab；（B）11,22ab；（C）11,22ab；（D）11,22ab；二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。(9)已知3232xyfx，2()arcsinfxx，则0xdydx。(10)方程3001()()3xxfxtdtxftdt（把f(x-t)改为tf(x-t)）满足(0)0f的特解为。(11)2222()Dxydab。其中D为221xy。(12)24610(1)1!2!3!xxxxdx。(13)设A是三阶矩阵，已知0,20,30AEAEAE，B与A相似，则B的相似对角形为。(14)设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)（本题满分10分）设函数(,)ufxy具有二阶连续偏导数，且满足等式22222430uuuxxyy。确定,ab的值，使等式在变换,xayxby下简化为20u。第4页共14页(16)（本题满分10分）求幂级数1(1)nnnx的收敛域及其在收敛域内的和函数；(17)（本题满分10分）设()fx在[0,)连续，且101()2fxdx，()lim0xfxx。证明：至少0,，使得()f。(18)（本题满分10分）过椭圆223231xxyy上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。(19)（本题满分10分）设()0()0xfxexxgxxaxbx，其中()fx在0x处二阶可导，且(0)(0)1ff。（I）a、b为何值时()gx在0x处连续？（II）a、b为何值时()gx在0x处可导？(20)（本题满分11分）设A是实矩阵。证明：（I）0TAAx与0Ax是同解方程组；（II）秩()TAA=秩()A(21)（本题满分11分）设A为三阶方阵，123,,为三维线性无关列向量组，且有123A，213A，312A。求（I）求A的全部特征值。（II）A是否可以对角化？（22）（本题满分11分）设两随机变量(,)XY在区域D上均匀分布，其中{(,):1}Dxyxy，又设UXY，VXY，试求：（I）U与V的概率密度()Ufu与()Vfv；（II）U与V的协方差cov(,)UV和相关系数UV（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度函数为/1(,),()2xfxex，其第5页共14页中。12,,,nXXX是总体X的一个容量为n的样本。（I）求参数的矩估计量；（II）求参数的最大似然估计量；（III）说明由最大似然估计法所得的估计量是否为无偏估计量。第6页共14页考研数学三模拟题参考答案二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（1）A解：设0()(),0xFxxftdtx，则00()()()()()bababfxdxafxdxFbFaFxdx00[()()][()()()]bxbxaaftdtxfxdxxfxtftdtxfxdx[()()]2()bbaaxfxxfxdxxfxdx所以，001()[()()]2bbaaMxfxdxbfxdxafxdxN(2)B解：由于函数可导（除0x）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与x轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。(3)B解：因级数10001nnu是1nnu删除前1000项而得，故当1nnu收敛时，去掉有限项依然收敛，因此10001nnu收敛，若1lim1nnnuu，则存在正整数N，使得nN是，nu不变号。若0nu，有正项级数的比值判别法知nnNu发散。同理可知，如果0nu，则正项级数()nnNu发散，因此nnNu发散。故②③正确，选B（4）A解：2200ln(1)()1/(1)(2)limlim22xxxaxbxxabxxx，因0lim0xx，则0lim1/(1)(2)0xxabx，故1a。而第7页共14页22200ln(1)()ln(1)limlim2xxxxbxxxbxx，故122b，所以52b【也可以用泰勒公式计算】（5）A解：0Ax有非零解，充要条件是()rAn，由此即可找到答案。（6）D解：1020TAB=11202202TTAABB=12(2)nAB（7）C解：由于2~(2,2)iXN，所以2~(0,1)2iXN故222~(1)2iX，2212~()2niiXn（8）B因为aXbY服从正态分布，股根据题设1()2PaXbY知，()()()()EaXbYaEXbEYab，从而有1ab，显然只有（B）满足要求。二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。（9）应填32。解：由3232xyfx，2()arcsinfxx得22232323212arcsin()()arcsin()323232(32)dyxxxdxxxxx0123arcsin142xdydx(10)应填()2(1)2xfxxe解：令xtu，原方程变为30001()()()3xxxxfuduufuduxftdt第8页共14页方程两边对x求导得20()()xfuduxfx再两边对x求导得()2()fxxfx，即2dyyxdx[(2)]2(1)dxdxyexedxCxC由(0)0y得2C，故()2(1)2xyfxxe(11)应填2211()4ab22222222221()()2DDxyxyxyddabab2222111()()2Dxydab2132200111()2drdrab2211()4ab(12)应填11(1)2e解：因224622223()()(1)[1]1!2!3!1!2!3!xxxxxxxxxxe故原式22211121000111(1)222xxxxedxedxee(13)应填123【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】解：由0,20,30AEAEAE，知A的特征值为11231,2,3，相似矩阵具有相同的特征值，所以B的特征值也为11231,2,3，故B相似的标准第9页共14页形为123(14)应填0.2解：设A：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”，B：“所取的两件都是不合格品”因为226102()1()1(/)3PAPACC，224102()/)15PBCC所以()()1()()()5PABPBPBAPAPA三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)（本题满分10分）解：2222222,2uuuuuuuxx，222222222,2uuuuuuuabaabbyy，222222()uuuuaabbxy将以上各式代入原等式，得2222222(341)[64()2](341)0uuuaaababbb，由题意，令223410,3410,aabb且64()20abab故1,1,31,1,3aabb或(16)（本题满分10分）解：（I）由于lim11nnn，所以11x，即02x，当0x和2x时幂级数变为1(1)nnn及1nn，均发散，故原级数的收敛域为(0,2)第10页共14页设1111()(1)(1)(1)(1)()nnnnsxnxxnxxsx则11111()(1)1(1)2xnnxxsxdxxxx，所以1211()2(2)xsxxx，则21()(2)xsxx(17)（本题满分10分）证明：作函数()()Fxfxx，有1110001()[()]()02Fxdxfxxdxfxdx。所以由积分中值定理，存在[0,1]a，使10()(10)()0,FxdxFa即()0Fa。又()()limlim11xxFxfxxx，所以，由极限的保号性，存在ba，使()0Fbb，即()0Fb。因此，由介值定理，至少存在一个,(0,)ab，使()0F，即()f。(18)（本题满分10分）解：设(,)xy为所给椭圆上任一点，则可求得在(,)xy处的切线方程为(3)()(3)()0xyXxxyYy它与两坐标轴的交点为(