量子力学微扰理论

1量子力学第五章微扰理论缪灵[e-mail]2可解析求解模型IIIIIxV(x)xIIIIIV(x)V(x)xIIIII3一、近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解复杂问题的近似（解析）解。二、近似解问题分为两类1、体系Hamilton量不是时间的显函数——定态问题（1）定态微扰论；（2）变分法。2、体系Hamilton量显含时间——状态之间的跃迁问题（1）与时间t有关的微扰理论；（2）常微扰。4§1非简并定态微扰理论§2简并微扰理论及其应用§3变分法与氦原子基态5平衡态附近的泰勒展开6§1非简并定态微扰理论一、微扰体系的Schrödinger方程HHHˆˆˆ)0()0(ˆˆHH其中其中H(0)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En(0)，本征矢Ψn(0)。则：)0()0()0()0(ˆnnnEHnnnEHˆ7当H≠0时引入微扰，使体系能级发生移动，由En(0)→En，状态由ψn(0)→ψn。)0()0()0()0(ˆnnnEH8微扰体系的定态Schrödinger方程为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：)1(ˆˆHH其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。因为En、ψn都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：)2(2)1()0()2(2)1()0(nnnnnnnnEEEE其中En(0),λEn(1),λ2En(2),...分别是能量的0级近似、1级近似和2级近似等。而ψn(0),λψn(1),λ2ψn(2),...分别是状态矢量0级近似、1级近似和2级近似等。9))(())(ˆˆ()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0()1()0(nnnnnnnnnEEEHH乘开得：][][][][]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ3)0()2()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0(3)1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0(nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEHHHHH代入Schrödinger方程得：11()nnnnnabanabnabb--+=++++10根据等式两边λ同幂次的系数应该相等:)0()2()1()1()2()0()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()1()1()0(1)0()0()0()0(0ˆˆ:ˆˆ:ˆ:nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEHHEEHHEH整理后得：)0()2()1()1()1()2()0()0()0()1()1()1()0()0()0()0()0(]ˆ[]ˆ[]ˆ[]ˆ[0]ˆ[nnnnnnnnnnnnEEHEHEHEHEH体系的能量和态矢为)2()1()0()2()1()0(nnnnnnnnEEEE11二、非简并定态的微扰近似1、态矢和能量的一级近似(1)能量一级修正En(1)左乘ψn(0)|(0)(0)(1)(1)(0)ˆˆ[][]nnnnHEHE利用本征基矢的正交归一性：)0()0()1(|ˆ|nnnnnHHE其中能量的一级近似等于微扰Hamilton量在0级态矢中的平均值12二、非简并定态的微扰近似(1)(1)(0)1nknkka)0()1(1)0()0()0()1()0()1(1)0()1()0()0(]ˆ[][]ˆ[]ˆ[nnkknkknnnkkknnEHEEaEHaEH左乘ψm(0)|(0)(0)(1)(1)(0)ˆˆ[][]nnnnHEHE（2）态矢的一级修正ψn(1)13)0()0()1()0()0(1)0()0()0()0()1(||ˆ||][nmnnmkkmnkknEHEEamnnmnnmmnEHEEa)1()0()0()1(ˆ][nmEEHEEHamnnmmnmnmn,|ˆ|)0()0()0()0()0()0()1(141)0()1()1(kkknna注意)0()1(1)0()1(nnnkkknaa（2）态矢的一级修正ψn(1)nmmmmnmnnmmmmnnEEHa)0()0()0(')0()1(')1(15能量高阶近似方程左乘态矢ψn(0)|()(0)(1)2''(0)(0)(0)(0)ˆkknnnmnmnnmmnnmmmnmnmEHHHHEEEE(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆ[]0ˆˆ[][]ˆˆ[][]nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE'(0)(0)(0)mnmnmmnmHEE16低级微扰近似结果(1)'(0)(0)(0)mnmnnmmnmHEE2(2)'(0)(0)mnnmnmnmHEEE(1)(0)(0)ˆ||nnnnnEHH172(0)'(0)(0)(0)'(0)(0)(0)||nmnnnnmnnmmnnnmmnnmHEEHEEHEE(0)(0)(0)(0)1mnnmnmHEEEE三、微扰理论适用条件18微扰适用条件表明：（2）|En(0)–Em(0)|要大，即能级间距要宽。例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即En=-μZ2e2/(22n2)(n=1,2,3,...)可见，n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。（1）Hmn要小，即微扰矩阵元要小；物理意义(0)(0)(0)(0)1mnnmnmHEEEE¢?-19nmmmnmnnnEEH)0()0()0()0(表明微扰态矢ψn可以看成是无微扰态矢ψm(0)的线性叠加。（2）展开系数Hmn/(En(0)-Em(0))表明第m个态矢ψm(0)对第n个态矢ψn的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计算无限多项，只要算出最近邻的有限项即可。（3）由En=En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量H在无微扰态ψn(0)中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。（1）在一阶近似下：讨论20例：已知某表象中Hamilton量的矩阵形式1030002cHcc（1）设c1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：（1）c1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：0100000300000200cHHcc0HHH2111(0)02233100030002naaHaEaaaH0是对角矩阵，是H0在自身表象中的形式。所以，0级近似的能量和态矢为：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非简并微扰公式(1)2(2)(0)(0)||nnnknnknnkEHHEEE能量一级修正：(1)111(1)222(1)33300EHEHEHc1231000,1,0001000000cHcc22(1)2(2)(0)(0)||nnnknnknnkEHHEEE能量二级修正为：222(2)2311211(0)(0)(0)(0)(0)(0)111213||||||12kkkHHHEcEEEEEE222(2)2322122(0)(0)(0)(0)(0)(0)222123||||||12kkkHHHEcEEEEEE222(2)313233(0)(0)(0)(0)(0)(0)333132||||||0kkkHHHEEEEEEE000000cHcc23准确到二级近似的能量本征值为：211221223132EcEcEc设H的本征值是E，可得久期方程：10300002EccEcE22(2)(43)0cEEEc可得：2122321212EcEcEc(3)将准确解按c(1)展开224111282241122832112132EcccEcccEc微扰论二级近似结果，与精确解展开式，不计c4及以后高阶项的结果相同。(2)精确解：24例：一电荷为e的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿x正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：（1）带电谐振子的Hamilton量2222122dˆ2dHxexx将Hamilton量分成H0+H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。22221022dˆ2dˆHxxHex25（2）写出H0的本征值和本征函数E(0),ψn(0)22(0)/2(0)12(),2!()0,1,2,xnnnnnnNeHxNnEnn（3）计算En(1)(1)(0)*(0)(0)*(0)ˆdd0nnnnnnnEHHxexx积分等于0是因为被积函数为奇函数所致。26（4）计算能量二级近似En(2)欲计算能量二级修正，首先应计算Hmn矩阵元。(0)*(0)(0)*(0)ˆddmnmnmnHHxexx利用线性谐振子本征函数的递推公式：(0)(0)(0)111122[]nnnnnx(0)*(0)(0)111122[]dnnmnmnnHex1,1,122[]ennmnmn2(2)'(0)(0)mnnmnmnmHEEE金蝉脱壳！272(2)'(0)(0)||mnnmnnmHEEE21,1,122'(0)(0)|[]|ennmnmnmnnmEE2',1,1(0)(0)11()22emnmnmnnmnnEE2(0)(0)(0)(0)11111()22ennnnnnEEEE对谐振子有；En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω(2)211122()[]ennnE2212()e2222e28(1)'(0)(0)(0)mnnmmnnmHEE1,1,122'(0)(0)(0)[]ennmnmnmmnnmEE(0)(0)11122(0)(0)(0)(0)1111ennnnnnnnEEEE(0)(0)1112211ennnn(0)(0)113112nnenn