2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 1.1.1(二)正弦定理(二)

1.1.1（二）1.1.1正弦定理(二)【学习目标】1．熟记正弦定理的有关变形公式．2．探究三角形面积公式的表现形式，能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题．3．能根据条件，判断三角形解的个数．【学法指导】1．已知两边及其中一边对角解三角形，其解不一定唯一，应注意运用大边对大角的理论判断解的情况．2．判断三角形形状时，不要在等式两边轻易地除以含有边角的因式，造成漏解．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝；(2)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝；(3)a＝，b＝，c＝；(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝.2．三角形面积公式：S＝＝＝.填一填·知识要点、记下疑难点a∶b∶c2R2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2R12absinC12bcsinA12acsinB本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）3．在△ABC中，若sinAsinB，则角A与角B的大小关系为()A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不能确定填一填·知识要点、记下疑难点解析由sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.A本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）4．在△ABC中，a＝10，b＝8，C＝30°，则△ABC的面积S＝.填一填·知识要点、记下疑难点解析S＝12absinC＝12×10×8×sin30°＝20.20本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）探究点一已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数问题我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）探究1在△ABC中，已知a，b和A，若A为直角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)关系式a≤ba＞b图形解的个数解解研一研·问题探究、课堂更高效无一本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）探究2在△ABC中，已知a，b和A，若A为钝角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)关系式a≤ba＞b图形解的个数解解研一研·问题探究、课堂更高效无一本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）探究3在△ABC中，已知a，b和A，若A为锐角，讨论三角形解的情况．(请完成下表)关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥b图形解的个数解解解解研一研·问题探究、课堂更高效无一两一本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）探究点二三角形的面积公式问题我们已经知道S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc(其中ha，hb，hc分别为a，b，c边上的高)．学习了正弦定理后，你还能得到哪些计算三角形面积的公式？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）证明作AD⊥BC，垂足为D，研一研·问题探究、课堂更高效探究1当△ABC为锐角三角形时，证明：S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，∴csinB＝bsinC.∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsinB＝12absinC.同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.D本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）探究2当△ABC为钝角三角形时，证明：S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.研一研·问题探究、课堂更高效证明不妨设B为钝角，如图所示，过A作CB边上的高线AD，则AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin(180°－B)＝ABsinB＝csinB.又AD＝AC·sinC＝bsinC，∴csinB＝bsinC，∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsinB＝12absinC.同理S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB.所以S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.D本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）【典型例题】例1已知一三角形中a＝23，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．研一研·问题探究、课堂更高效解a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°.又因为bsinA＝6sin30°＝3，absinA，所以本题有两解，由正弦定理得，sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，故B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23.所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效小结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3解析由正弦定理asinA＝bsinB，可得3sin60°＝1sinB，∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由ab，得∠A∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.B本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效例2在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．解如图，由正弦定理，得7sin120°＝5sinC，∴sinC＝5314，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114.∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C)＝32cosC－12sinC＝32×1114－12×5314＝3314.∴S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12×5×7×3314＝1534.小结题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝.解析∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴12absinC＝43，∴b＝23.23本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效例3在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA⇔a2sinBcosB＝b2sinAcosA⇔4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA⇔sinAcosA＝sinBcosB⇔sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．小结条件是边角混合关系式，应用正弦定理化边为角，再由角的关系判断三角形的形状．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状．解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，∴bcosA＝acosB.由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴0Aπ，0Bπ，－πA－Bπ.∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）1．已知△ABC的面积为3且b＝2，c＝2，则∠A等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°解析S＝12bcsinA＝12×2×2×sinA＝3，∴sinA＝32，∴A＝60°或120°.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）2．在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由正弦定理得2sinA＝6sin60°，∴sinA＝22.∵BC＝2AC＝6，∴A为锐角．∴A＝45°.∴C＝75°.75°本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）3．在△ABC中，b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由正弦定理，得3sin2π3＝1sinB，∴sinB＝12.∵C为钝角，∴B必为锐角，∴B＝π6，∴A＝π6.∴a＝b＝1.1本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）4．不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.练一练·当堂检测、目标达成落实处解(1)sinB＝basin120°＝45×3232，所以三角形有一解．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）(2)sinB＝basin60°＝109×32＝539，练一练·当堂检测、目标达成落实处而325391，所以当B为锐角时，满足sinB＝539的角有60°B90°，故对应的钝角B有90°B120°，也满足A＋B180°，故三角形有两解．(3)sinB＝bsinCc＝7250sinCsinC＝22，所以B45°，所以B＋C180°，故三角形无解．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1（二）1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，也可能一解或两解.例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.absinAa＝bsinAbsinAaba≥bA为锐角无解一解(直角)两解(一锐角,一钝角)一解(锐角)a≤babA为直角或钝角无解一解(锐角)2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练