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重庆大学重庆大学重庆大学重庆大学2002数学分析数学分析数学分析数学分析重庆大学重庆大学重庆大学重庆大学2003数学分析数学分析数学分析数学分析第1页共2页重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题科目代码:329科目名称:数学分析特别提醒考生特别提醒考生特别提醒考生特别提醒考生:答题一律做在答题纸上答题一律做在答题纸上答题一律做在答题纸上答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题包括填空题包括填空题、、、、选择题选择题选择题选择题、、、、改错题等改错题等改错题等改错题等)，，，，直接做在试题上按零直接做在试题上按零直接做在试题上按零直接做在试题上按零分计分计分计分计。。。。第一部分第一部分第一部分第一部分计算题计算题计算题计算题（（（（共共共共70分分分分））））一、（10分）求极限xxxxsin1sinlim20→，并说明能否使用洛必达法则，为什么？二、（10分）设)(xyy=是由方程yxxye32=确定的隐函数，计算.)(2)2ln(2yyy′−′′−三、（10分）应用定积分求极限∑=∞→+nininn122lim。四、（10分）讨论函数43)1()3()(+−=xxxf的严格单调区间与极值。五、（10分）判断函数列),3,2,1()(2===nnxexfnxn在区间[]1,0上的一致收敛性，并说明理由。六、（10分）计算不定积分∫++dxxx1142七、（10分）化二重积分xdydyxfD∫∫+)(为单积分，其中D：1≤+yx。第二部分第二部分第二部分第二部分证明题证明题证明题证明题（（（（共共共共80分分分分））））八、（18分）写出极限)(limxfx∞→存在（有限）的柯西收敛法则及其否定叙述，并据此证明下述结论：（1）极限xxxcoslim+∞→存在（有限）；（2）极限xxsinlim+∞→不存在。九、（12分）叙述函数)(xf闭区间[]ba,上可积的定义，并据此证明函数−=11)(xfQxQx∉∈，Q是有理数集在闭区间[]ba,上不可积。第2页共2页十、（12分）设函数)(xf在闭区间[]ba,上连续且变号（即非恒正，也非恒负），在开区间()ba,二阶可导，且,0)()(==bfaf证明：至少存在一点()0)(,,′′∈ξξfba使得。十一、（12分）设函数)(xf在[]+∞,0可微，[)+∞′,0)(在xf单调增加、无上界，证明：广义积分dxxf∫+∞+02)(11收敛。十二、（12分）证明：含参广义积分∫+∞−=02)(dxeFxααα在区间()+∞,0上，1）有连续的导函数；2）非一致收敛。十三、（14分）设有函数项级数∑∞=−−=2)1sin(2)(nnnxxf，证明：（1）函数()连续；，在区间10)(xf（2）函数(),4,3,21)(==kkxxfk处不可微在点，在区间()1,0内的其它点处皆可微。重庆大学2008200820082008年硕士研究生入学考试试题科目代码：618618618618科目名称：数学分析特别提醒考生：特别提醒考生：特别提醒考生：特别提醒考生：答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等）））），直接，直接，直接，直接做在试题上按零分记。做在试题上按零分记。做在试题上按零分记。做在试题上按零分记。一、（12分）设{}na和{}nb是两个数列，a，b是两个实数。（1）叙述aann=∞→lim的定义；（2）设,,limlimbbaannnn==∞→∞→且ba,证明:存在正整数0N,当Nn时,nnba。二、（12分）（1）叙述有限覆盖定理；（2）利用有限覆盖定理证明:若()xf在闭区间[]ba，连续，则()xf在[]ba,有界。三、（12分）设二元函数()()(){}()(){}⎪⎩⎪⎨⎧∈−∈∈∈=222220,,00,,1,xyRyxRyxxyRyxyxyxf，，证明：()yxf,在()0,0点极限不存在。四、（12分）如果二元函数()yxf,存在偏导数，但是不可微，那么复合函数的导数公式dtdyyfdtdxxfdtdf∂∂+∂∂=，其中：()txx=，()tyy=（可导）是否成立？以函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,,222222yxyxyxyxyxf为例进行研究。共2页第1页五、（12分）设函数()xf在[]1,0+M上连续()0M，记()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∫∫+xnxndttfdttfnxf010，[]Mx,0∈∀证明：()xfn在[]M,0上一致收敛于()xf。六、（12分）计算不定积分：∫+−1cos22αxxxdx（常数παk≠，Zk∈）。七、（12分）计算积分∫∫Σ++dxdyzdxdzydydzx333。其中，Σ为上半单位球外表面。八、（14分）设函数()xf在闭区间[]ba，上可微，()0=af。若存在常数0α，使得()()xfxfα≤′，[]bax,∈∀证明：（1）当10α时，()0≡xf，[]bax,∈∀；（2）对于任意0α，()0≡xf，[]bax,∈∀。九、（12分）讨论广义积分∫+∞0sindxxxλ的绝对与条件收敛性。其中，λ为实常数。十、（14分）设函数()xf在区间[)+∞,0上可微，且()0≥′Kxf。证明：（1）()+∞=+∞→xfxlim；（2）()∑+∞=+1211nnf收敛。十一、（12分）设数列nnxn214131211−+++++=⋯，证明：nnxlim∞→存在。十二、（14分）（1）叙述函数()xf区间[]ba,上可积的第一充要条件；（2）设函数列(){}xfn在[]ba,上定义，且()xfn在[]ba,上一致收敛于()xf。证明：若()xfn在[]ba,上可积，则()xf在[]ba,上可积。共2页第2页