特殊平行四边形讲义

初中数学九年级上册第三章证明（三）【知识点精析】知识点一、平行四边形（一）平行四边形的性质_____________________对角线对角线：平行四边形的角：平行四边形的对角平行四边形的对边平行四边形的对边边平行四边形的性质：（二）平行四边形的判定方法1、用边判定的四边形是平行四边形两组对边一组对边两组对边________________________2、用角判定两组对角_________的四边形是平行四边形3、用对角线判定对角线___________的四边形是平行四边形．（三）三角形的中位线1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2、连结三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。知识延伸：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，此四边形为平行四边形。如果原来四边形对角线相等，则此四边形为菱形如果原来四边形对角线垂直，则此四边形为矩形如果原来四边形对角线垂直且相等，则此四边形为正方形知识点二、矩形（一）矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，因此除具备平行四边形的所有性质外，还具备一般平行四边形不具备的性质：1、矩形的四个角都是2、矩形的对角线（二）矩形的判定方法1、有一个角是直角的是矩形（利用定义判定）2、有三个角是的四边形是矩形（利用判定定理）3、对角线相等的是矩形（利用判定定理)注意：定义和对角线去判定一个四边形是矩形时，一定要注意前提条件是四边形是平行四边形（三）直角三角形斜边的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（此性质可以证明线段的倍分关系，也可以用来进行直角三角形的有关计算，是直角三角形中一条重要的数量关系）知识点三、菱形（一）菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有特征外，还有其特殊的性质：1、菱形的四条边都2、菱形的对角线，并且每条对角线平分一组对角知识延伸：菱形的面积有两种求法：一是利用平行四边形的面积公式，二是利用菱形的性质可得，菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，即如果菱形的两条对角线长分别为a、b,则菱形的面积S=21ab（二）菱形的判定方法1、有一组相等的平行四边形是菱形（利用定义）2、都相等的四边形是菱形（利用判定定理）3、对角线的平行四边形是菱形（利用判定定理）注意：判定方法中(1)(3)中必须以四边形是平行四边形为前提知识点四、正方形（一）正方形的性质正方形是特殊的矩形和菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质1、角的关系：正方形的四个角2、边的关系：正方形的四条边3、对角线的关系：正方形的两条对角线，并且，每条对角线（二）正方形的判定方法1、有一组相等的矩形是正形（利用定义）2、对角线的矩形是正方形（利用判定定理）3、的菱形是正方形（利用判定定理）4、对角线的菱形是正方形（利用判定定理）【基础训练】1、下列命题中正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等3、菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A.内角和是360°；B.对角相等；C.对边平行且相等；D.对角线互相垂直.4、下列命题中错误的是()A.平行四边形的对角线互相平分；B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；C.等腰梯形的对角线相等；D.两对邻角互补的四边形是平行四边形.5、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）。A．一组邻角互补，一组对角相等。B．一组对边平行，一组邻角相等C．一组对边相等，一组对角相等。D．一组对边相等，一组邻角相等（212山东泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A.3B.3.5C.2.5D.2.8（2012湖北襄阳，9，3分）如图4，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是A．△AED≌△BFAB．DE－BF＝EFC．△BGF∽△DAED．DE－BG＝FG（2012江苏盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）..（2012四川成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误．．的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OCABCDO(2012山东省临沂市）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD=0.图4ACBDEFGABCDEOBAMNODC（2012四川宜宾，14，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=2012江苏省淮安市，13，3分）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm．则边长AB=cm．2012湖北黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.2012山西，11，2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．B．C．D．2012贵州黔西南州，20，3分)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图7方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕EF，若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________cm2．（陕西20127，3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEAB，垂足为E，若=130ADC，则AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50（2012广东肇庆，13，3）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（2012江苏苏州，6，3分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A．4B．6C．8D．102012山东省滨州，11，3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：（2012安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.（2012江苏盐城，15，3分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）.（2012浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为▲.（2012湖北襄阳，23，7分）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．（2012浙江省温州市，19，8分）如图，△ABC中，90B，AB=6cm,BC=8cm。将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A,B,C的对应点分别是D,E,F，连结AD。求证：四边形ACFD是菱形。2012浙江省嘉兴市，19，8分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.第19题OCDBEA2012湖南娄底，23，9分）如图11，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.23．（2012江苏盐城，23，10分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=900，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC．图10ACBDEFADCBMNPQ（2）若AD=12BC,试判断四边形ABED的形状，并说明理由．(2012重庆，24，10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。21EMFABCD(2012山东省临沂市，22，7分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠ABC=900，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形。（2012贵州铜仁，18，4分以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．第23题图（2012四川内江，21，9分）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．（2012贵州贵阳，21，10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.（2012广州市，5，3分）如图2，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（）ECBADCBADEFG图11DABCEF第21题图A.26B.25C.21D.20(2012山东省临沂市，11，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A.AC=BDB.OB=OCC.∠BCD=∠BDCD.∠ABD=∠ACD(2012四川省南充市，17，6分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD.求证：∠B=∠E.（2011江苏省无锡市，8，3′）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B.18C.19D.20（2012山东省滨州，11，3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1（2012北海,6，3分）6．如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO∶CO＝2：3，AD＝4，则BC等于：（）A．12B．8C．7D．6(2012江苏苏州，6，3分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）ADBCO第6题图ABCDE图4A．4B．6C．8D．10（2012广东肇庆，13，3）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为▲．【解析】菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理可求得边长为5．菱形的四条边相等，故周长为20．（2012贵州省毕节市，17，5分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．．．．