温度场有限元讲义to-be-modified

1第五章温度场及热变形的有限元法当构件上作用有温度场时，除考虑载荷（力场）作用下的变形、应变和应力外，还要考虑热的影响，热变形的大小常常是研究构件精度时必须考虑的重要因素之一。在有热应力存在的情况下，热应力又是研究构件强度时必须考虑的问题。因此，我们需要研究温度变化对结构的应力、应变的影响。而要研究这个问题，就必须了解温度场分布会对结构的形状，受力情况产生怎样的影响，所以我们必须学习结构处于平衡时，（热）温度场分布的规律。我们研究温度场的昀终目的是为了更全面地了解结构的位移场，应力场等与其成因之间的关系，因此，在这一章里我们首先简要地从热弹性力学的角度了解温度的变化是怎样影响结构的变形、应变和应力的，然后再集中学习温度场的有限元分析方法。5.1热弹性力学问题一．温度对应力，应变的影响例1.一维固支梁问题为例图5-1固支梁求温度升高tΔ时，固支梁内应力的大小是多少？分析：1).现梁固支，所以0tlΔ=。2).温度升高tΔ，按广义胡克定律，若是自由伸长，会引起伸长tlltαΔ=Δ，此时，ttεα=Δ，tEtσα=Δ。3).但我们知道，当构件自由伸长时应无热应力产生。4).所以，现在要形成固支的状态，必须在两端加上压力xN，xN的大小应使杆产生一个tl−Δ的变形，使0tlΔ=。根据胡克定律：/xxtxxxxNAlEANEAEAltEAtllNAEtσεαασα=⋅−Δ⎛⎞=⋅==−⋅Δ=−Δ⎜⎟⎝⎠∴==−Δ这就说明在固支的情况下，温度升得越高，压应力就越大，在数值上是EtαΔ。记固支梁的xσ为2xbσ，它的热应力xbEtσα=−Δ例2.周边固支的矩形薄板，材料的热膨胀系数为x，弹性系数为E，泊松比为μ，求温度升高tΔ时，板中的热应力图5-2固支平板解：分析1).当周边无约束时，自由膨胀，无应力产生。2).周边固支时，应变为0.3).根据平面问题的胡克定律，有()()11xxyyyxtEtEεσμσαεσμσα⎧=−+Δ⎪⎪⎨⎪=−+Δ⎪⎩()()12由（1）-（2）得()10xyxyEμσσσσ−⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∴=代回（1）式，有()102xxtEσμσ=−+Δ1xyEtασσμΔ∴=−=−记板的xσ为xpσ，1xpEtασμΔ=−−从例1和例2可以看出，热应力值与线尺度无关。固支板的热应力xpσ与梁的热应力xbσ的关系为11xpxbσσμ=−xpxbσσ即固支板的热应力要比固支梁的热应力大。二．热弹性力学方程（在只考虑有温度变化的情况下）平衡方程，物理方程和几何方程（在变温情况下）和应力，位移边界条件（１）平衡方程：只与物体的受力有关，而与产生力的原因无关。此时，只考虑温度影响时无显3式外力作用。000xyxxzxyyyzyzxzzxyzxyzxyzτσττστττσ∂⎧∂∂++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪++=∂∂∂⎪⎩（２）几何方程：应变只与位移有关，而与引起位移的原因无关，所以与弹性力学的几何方程相同，有xyzuxvywzεεε⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩vuxyxywvyzyzwuxzxzγγγ∂∂⎧=+⎪∂∂⎪∂∂⎪=+⎨∂∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎩（３）物理方程在变温条件下，弹性体的应变由两部分组成：1．自由膨胀引起的正应变分量0tεα=，它对应的剪应变为0。t为温度变化值。2．热膨胀时，弹性体各部分之间的相互约束而引起的应变分量xε服从胡克定律：()111txxyzEtyyxzEtzzyxEεσμσσαεσμσσαεσμσσα⎧⎛⎞⎛⎞=−++⎜⎟⎜⎟⎪⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎛⎞=−++⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎛⎞=−++⎜⎟⎪⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎩()()()211211211xyxyxyyzyzyzxzxzxzEGEGEGμγττμγττμγττ+⎧==⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪+==⎪⎩或写成'''212212212xxyyzzEtGEtGEtGασελθμασελθμασελθμ⎧=+−⎪−⎪⎪=+−⎨−⎪⎪=+−⎪−⎩其中xyzθεεε=++，xyxyGτγ=，yzyzGτγ=，xzxzGτγ=()()'112Eμλμμ=+−()21EGμ=+4下面给出式'212xxEtGασελθμ=+−−的证明：()()()()()11111xxyzxxyzxtEtEtEεσμσσαμσμσσσαμσμα=−++⎡⎤=+−+++⎣⎦=+−Θ+⎡⎤⎣⎦其中令xyzσσσΘ=++有()()()111111xxyyzztEtEtEεμσμαεμσμαεμσμα⎧=+−Θ+⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=+−Θ+⎨⎣⎦⎪⎪=+−Θ+⎡⎤⎪⎣⎦⎩[]1(12)3xyztEεεεμα++=−Θ+记xyzθεεε=++则有()1123tEθμα=−Θ+所以312EEtθαμ−Θ=−将θ，Θ代入xε，得到()()13112131212111212xxxxEEttEttEtEθαεμσμαμμμθμασαμμμαμμθσμμ⎡⎤−=+−+⎢⎥−⎣⎦+=−++−−++=−+−−所以()111212xxtEμαμμθσεμμ++=+−−−∴()()111212xxEEEtuμθασεμμμ=+−++−−5所以'212xxEtGασελθμ=+−−其中1EGμ=+()()'112Euμλμ=+−xyzθεεε=++三．温度作用下的应力边界条件和平衡方程将几何方程代入物理方程，再将物理方程代入平衡方程(结构内部)和边界上的应力边界条件，可以得到由位移表达的平衡方程和应力边界条件，从其中可以看出温度变化在其中的作用。1.温度作用下的应力边界条件考虑只有温度变化的情况下边界上无外力载荷。0xyzFFF===所以应力边界条件的方程为：000xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnστττστττσ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将物理方程'''212212212xxyyzzEtGEtGEtGασελθμασελθμασελθμ⎧=+−⎪−⎪⎪=+−⎨−⎪⎪=+−⎪−⎩xyxyyzyzxzxzGGGτγτγτγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩和几何方程xyzuxvywzεεε⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩xyyzxzvuxywvyzwuxzγγγ∂∂⎧=+⎪∂∂⎪∂∂⎪=+⎨∂∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎩代入应力边界条件，有''1212uuuuvwuvwEtGlmnGlmnllxyzxxxxyzvvvuvwuvwEtGlmnGlmnlmxyzyyyxyzαλμαλμ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞++++++++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂∂−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++++++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂∂−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂++++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠'12wuvwEtmnlnzxyzαλμ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎪++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂−⎪⎝⎠⎝⎠⎩对照面力作用下的应力边界条件，很显然，这里存在着当量面载荷：6121212EtXlEtYmEtZnαμαμαμ⎧=⎪−⎪⎪=⎨−⎪⎪=⎪−⎩2.当量热载荷（温度变化与结构内部点的位移的关系）将物理方程'''212212212xxyyzzEtGEtGEtGασελθμασελθμασελθμ⎧=+−⎪−⎪⎪=+−⎨−⎪⎪=+−⎪−⎩xyxyyzyzxzxzGGGτγτγτγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩和几何方程xyzuxvywzεεε⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩xyyzxzvuxywvyzwuxzγγγ∂∂⎧=+⎪∂∂⎪∂∂⎪=+⎨∂∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎩代入只考虑温度场影响的平衡方程000xyxxzxyyyzyzxzzxyzxyzxyzτσττστττσ∂⎧∂∂++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂++=⎪∂∂∂⎪⎩从第一式变为：()()'2012xxyxzEtGGGxyzαελθγγμ⎛⎞∂∂∂+−++=⎜⎟∂−∂∂⎝⎠⇒'2012uuvwEtuvuwGGGxxxyzyyxzzxαλμ⎛⎞⎛⎞⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛∂∂⎞⎛⎞+++−++++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂∂∂∂∂−∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠222'222012uuuuvwuvwEtGGxxyzxxyzxxyzαλμ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++++++−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂∂−∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⇒()2'012EtGuGxxθαλμ∂∂∇++−=∂−∂7同理，有()()()2'2'2'012012012EtGuGxxEtGvGyyEtGwGzzθαλμθαλμθαλμ⎧∂∂∇++−=⎪∂−∂⎪⎪∂∂∇++−=⎨∂−∂⎪⎪∂∂∇++−=⎪∂−∂⎩这就是用位移和变温表示的热弹性力学平衡方程。和有体积力作用的物体内部微元体的平衡方程()()()2'2'2'000GuGXxGvGYyGwGZzθλθλθλ⎧∂∇+++=⎪∂⎪∂⎪∇+++=⎨∂⎪⎪∂∇+++=⎪∂⎩相比较，可以发现，热弹性力学平衡方程中存在着一组相当于体积力的力，我们把它称为当量热载荷，作用在构件体内。121212EtXxEtYyEtZzαμαμαμ⎧∂=−⎪−∂⎪⎪∂=−⎨−∂⎪⎪∂=−⎪−∂⎩四.等效节点热载荷：在有限元分析中，需要把实际载荷移置到节点上去，即载荷移置。前面介绍由于温度变化会在结构内部产生当量的体积力，在边界上也会产生当量的面力。现在来推导当量的节点力。由1()xxyztEεσσσα=−++⎡⎤⎣⎦可知，当总应变为{}ε时，它包括温度变化产生的热应变，{}0ε是构件自由状态下产生的应变，它不产生正应力。记{}{}{}'0εεε=+{}0ε=111000tα⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭（t只产生拉伸，不产生角位移）∴{}{}{}'0εεε=−，{}'ε是产生正应力的应变。于是我们可以在单元内，写出矩阵形式的应力-应变关系和单元的有限元方程，从而认识节点上的等效热载荷。在单元内有：'[]{}{}Dεσ=，{}{}{}'0εεε=−而ε是总应变，与产生的原因无关。应该有几何方程{}[]{}eBεδ=成立∴{}[]{}{}()[][]{}[]{}00eDDBDσεεδε=−=−8单元有限元方程由虚功原理求得：设节点力为{}eR，节点虚位移为{}*eδ，虚应变为{}[]{}**eeBεδ=。虚功原理描述：节点力在节点虚位移上所做的虚功=应力在虚应变上所做的虚功。∴{}{}{}{}**eTeTeRdVδεσ=∫∫∫={}[][][]{}[]{}*0()eTTeBDBDdVδδε−∫∫∫由于{}*eδ的任意性，可得{}[][][]{}[]{}0()TeeRBDBDdVδε=−∫∫∫{}[]{}[][]{}0TeeRKBDdVδε=−∫∫∫记{}[][]{}0TetRBDdVε=−∫∫∫，称为变温节点力。对三维问题而言，有{}0111000000ttttαααεα⋅⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎪⎪⎪⎪==⋅⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭；而一维问题有{}0tεα=；二维问题有{}0110tεα⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭当平面问题中取三节点三角形单元时，温度插值函数[]{}[]iejmttNtNtt⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭。当其厚度为δ时，变温节点力为：{}[][][]{}[][]{}111100TTeeetijmRBDNtdxdyBDNNNtdxdyαδαδ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤=−=−⋅⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∫∫∫∫∴{}[][]()1130TeijmRBDtttα⎧⎫Δ⎪⎪=−++⎨⎬⎪⎪⎩⎭。其中Δ是三角形单元的面积。这里求积分时利用了有限元数值积分公式：!!!2(2)!cabijmabcLLLdxdyabc⋅Δ=+++∫∫，()()1!21!21!2(12)!(12)!(12)!3iijjmmijmijmLtLtLtdxdyttttttΔΔΔΔ++=++=+++++∫∫这样，就可以在求得了结构的温度场分布后，很方便地利用变温节点力公式9{}[][]()1130TeijmRBDtttα⎧⎫Δ⎪⎪=−++⎨⎬⎪⎪⎩