概率论与数理统计(专升本)2016年秋季考试

姓名学号学习中心专业年级考试时间[2016年秋季]概率论与数理统计概率论与数理统计(专升本专升本)2016年秋季考试年秋季考试总分：总分：100分分得分：得分：0分分1.论随机现象与概率（1）概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.请问什么是随机现象？你能至少举出两个例子说明随机现象吗？（2）表征随机事件在一次随机试验中发生的可能性大小的数叫概率.请问随机事件是如何定义的？事件A发生的频率与发生的概率有怎样的关系？（3）对下述五个事件发生可能性的文字描述连线相应的概率数值答案：①事件A发生与不发生的可能性一样；②事件B很可能发生，但不一定发生；③事件C肯定不会发生；④事件D能够发生，但不大可能；⑤事件E无疑会发生。备选数值答案为：（ａ）0；（ｂ）0.1；（ｃ）0.5；（ｄ）0.9；（ｅ）1.0。(20分)2.论随机变量及其分布（1）我们通常用随机变量来刻划一个随机试验中的所有可能的随机事件.讨论随机变量可分为连续型与离散型两种基本类型.设是连续型随机变量，则它的概率密度函数是概率吗？它的概率分布函数是概率吗？两者有什么关系？（2）设随机变量满足正态分布，则在的概率密度函数的图形中，其峰值（最高点处）是什么值？它代表着怎样的意义？(20分)3.论随机变量与随机变量的数字特征(1)阐述什么是随机变量，并请说出四种以上的常见随机变量的分布类型.(2)随机变量的分布可以全面地描述随机变量的统计规律.但在很多实际问题中，我们并不需要完全知道随机变量的分布，而只需知道其某些特征就够了.请问在本课程中给出了哪些数值特征？（说出三种以上的数值特征）(3)随机变量的期望与方差有着怎样的含义？随机变量X与Y的相关系数指的是什么？试指出下列常见分布的期望与方差：离散型的二项分布：～与连续型的正态分布：～.(20分)一、问答题一、问答题参考答案：（1）人类社会实践中存在着的一种非确定性现象，即在一定条件实现后，可能产生也可能不产生的现象，我们称之为随机现象.比如“抛硬币”看正反面、“掷骰子”看点数、“射击”看命中与否等均为随机现象，而物理实验中的“同性相斥，异性相吸”不是随机现象，是必然会发生的现象；（2）一般地，我们称随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件，简称事件；依照随机事件的统计规律性知，事件A发生的频率随试验的不同而改变，但是当试验的次数越来越大时，频率会稳定在某个数值ｐ附近，则称ｐ为事件A的概率，即概率是频率的稳定值.(3)P(A)=c;P(B)=d;P(C)=a;P(D)=b;P(E)=e.解题思路：从概率的统计性定义及几何意义出发回答此问题。参考答案：（1）概率密度函数本身不是概率，它反映的是单位长度上概率的密度大小，而概率分布函数是概率:,　且　；（2）的图形中，其峰值（最高点处）是随机变量的期望值，它代表着随机变量取值的平均值.解题思路：参考答案：(1)定义：设随机试验的样本空间为，是定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量.对于常见的随机变量分布的类型，离散型的有：两点分布、二项分布、泊松分布，连续型的有：均匀公布、指数分布、正态分布等等.(2)在本课程中给出了随机变量的期望，随机变量的方差，两个随机变量的协方差与相关系数等.(3)期望就是随机变量取值的加权平均值，而方差是随机变量取值的分散程度.随机变量X与Y的相关系数指的是X与Y是否具有线性关系.的期望是：，方差是：；　　第1/2页4.论大数定理与中心极限定理概率统计是研究随机现象统计规律的数学学科，而随机现象的统计规律只有对大量的随机现象进行观察才能显现出来.为了研究“大量”的随机现象，通常采用极限的形式，这就需要研究极限定理.大数定理和中心极限定理是极限定理中最重要的两种.请问：(1)什么是切比雪夫大数定理？有什么意义？(2)伯努利大数定理是切比雪夫大数定理的特殊情况，它有什么意义？(3)在数理统计中，不论总体服从什么分布，只要样本容量充分大，我们总是利用标准正态分布讨论其含样本均值的统计量，这是依据什么原理？(20分)5.论参数估计的基本知识(1)什么是参数估计？通常分为哪两种形式？它们最大的区别在那里？(2)矩估计法和极大似然估计法是最常用的点估计法，请问矩估计法的具体做法是什么？(3)在点估计中，什么是无偏估计？你知道在一般情况下，其数学期望与方差的无偏估计是什么？(20分)的期望是：，方差是：.解题思路：从定义上了解期望、方差、协方差、相关系数等；对常见的六大分布的数值特征一定要熟记参考答案：(1)切比雪夫大数定理是指对于随机变量序列：，当充分大时，相互独立的随机变量的平均值，依概率收敛于它各自数学期望的平均值.这就是“算术平均值”法则.(2)伯努利大数定理表明在大量重复的试验中，事件A发生的频率依概率收敛于事件A发生的概率，该定理以严格的数学形式表述了频率的稳定性.(3)利用标准正态分布讨论统计量的依据是中心极限定理.即独立随机变量序列的和服从或近似服从正态分布.解题思路：参考答案：1、在许多实际问题中，总体的分布形式往往是知道的，但分布中的参数却是未知的，这时，只要对参数做出推断即可确定总体的分布，参数估计，就是通过总体的样本构造适当的统计量，对未知参数进行估计.参数估计通常有点估计与区间估计两种.它们的区别在于：点估计问题是用一个估计值，点对点的估计未知参数，而区间估计是用两个估计值，通过一个区间来估计未知参数，并且还要给出落在这个区间内的概率；　　　　2、求矩估计的具体方法是，先求总体的各阶矩，即　，再求样本的各阶矩，即　，最后用样本矩去替代总体矩．,　从中求出估计值：，3、设是的一个点估计，如果满足，则称是的无偏估计量.在一般情况下，其数学期望的无偏估计是样本均值，方差的无偏估计是.解题思路：第2/2页