数学建模之数学规划模型

第四章数学规划模型4.1奶制品的生产与销售4.2自来水输送与货机装运4.3汽车生产与原油采购4.4接力队选拔和选课策略4.5饮料厂的生产与检修4.6钢管和易拉罐下料y数学规划模型实际问题中的优化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn,2,1,0)(..),(),()(1或x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析企业生产计划4.1奶制品的生产与销售空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。本节课题例1加工奶制品的生产计划1桶牛奶3公斤A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1制订生产计划，使每天获利最大•35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?•可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?•A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？每天：1桶牛奶3公斤A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A2获利24×3x1获利16×4x2原料供应5021xx劳动时间48081221xx加工能力10031x决策变量目标函数216472xxzMax每天获利约束条件非负约束0,21xx线性规划模型(LP)时间480小时至多加工100公斤A150桶牛奶每天112:50Lxx31:3100Lx2020404060601x2x212:128480LxxABCD1272641440xx5021xx48081221xx10031x0,21xx约束条件50:211xxl480812:212xxl1003:13xl0:,0:2514xlxl模型求解图解法x1x20ABCDl1l2l3l4l55021xx48081221xx10031x0,21xx约束条件50:211xxl480812:212xxl1003:13xl0:,0:2514xlxl216472xxzMax目标函数Z=0Z=2400Z=3600z=c(常数)~等值线c在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。Lingo/Lindo软件介绍这套软件包由美国芝加哥大学的LinusScharge教授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中有23家使用该产品。Lingo/Lindo软件介绍Lindo是英文LinearInteractiveandDiscreteOptimizer字首的缩写，即“交互式的线性和离散优化求解器”，可以用来求解线性规划（LP）和二次规划（QP）；Lingo是英文LinearInteractiveandGeneralOptimizer字首的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，它除了具有Lindo的全部功能外，还可以用来求解非线性规划。Lingo和Lindo的最大特色在于可以允许决策变量是整数，而且执行速度很快；Lingo实际上还是一种建模语言，即使对优化方面的专业知识了解不多的用户，也能方便的进行输入、求解，并能快速的得到复杂优化问题的高质量的解。Lingo/Lindo软件介绍Lingo/Lindo软件求解的优化模型类型见下图：优化模型连续模型整数模型线性规划二次规划非线性规划LindoLingo模型求解软件实现LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100endOBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。结果解释OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三种资源“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）结果解释OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量原料增加1单位,利润增长48时间增加1单位,利润增长2加工能力增长不影响利润影子价格•35元可买到1桶牛奶，要买吗？3548,应该买！•聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函数系数允许变化范围DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?Yesx1系数范围(64,96)x2系数范围(48,72)•A1获利增加到30元/千克，应否改变生产计划x1系数由243=72增加为303=90，在允许范围内不变！(约束条件不变)结果解释RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加10时间最多增加53•35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)模型分析与假设比例性可加性连续性xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关xi取值连续A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数加工A1,A2的牛奶桶数是实数线性规划模型例2奶制品的生产销售计划在例1基础上深加工1桶牛奶3千克A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤0.8千克B12小时,3元1千克获利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克获利32元/千克制订生产计划，使每天净利润最大•30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶,480小时至多100公斤A1•B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？1桶牛奶3千克A112小时8小时4千克A2或获利24元/千克获利16元/kg0.8千克B12小时,3元1千克获利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克获利32元/千克出售x1千克A1,x2千克A2，X3千克B1,x4千克B2原料供应劳动时间加工能力决策变量目标函数利润约束条件非负约束0,61xxx5千克A1加工B1，x6千克A2加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051xx附加约束5380x.x64750x.x模型求解软件实现LINDO6.15043)26251xxxx48022)(2)(4)3656251xxxxxxOBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2600334)26521xxxx44804624)36521xxxxDORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?NoOBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2结果解释每天销售168千克A2和19.2千克B1，利润3460.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到的24千克A1全部加工成B1除加工能力外均为紧约束结果解释OBJECTIVE