数学建模大赛论文-金属板的切割

1摘要金属板的切割问题要求对金属板的切割方式进行构思，希望通过数学可以达到效率较高、成本较低的可能性。应该先通过穷举的方法找到所有可能性，在所有可能性中保留最优的可能性。所谓最优即效率较高、成本较低的可能。然后建立非线性规划的数学模型，以这些可能性为基础，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。我们小组三人采用LINGO软件的数学规划模型求解功能求解出目标函数值。最后通过计算检验证明，该模型求解出的切割方法和题目的要求是完全符合的。2目录一、问题重述.................................................................................................3二、问题假设.................................................................................................3三、模型建立.................................................................................................4符号说明....................................................................................................4模型建立....................................................................................................................4四、问题的求解与分析..................................................................................5五、求解结果..................................................................................................6六、模型的评价..............................................................................................7模型的优缺点.............................................................................................7模型的改进..................................................................................................8七丶结论..........................................................................................................8八、参考文献..................................................................................................83一、问题重述本题主要是讨论在切割大面积金属时，通过建立数学模型的方法使切割时的成本最低、效率最高。本题中只考虑切割切割金属的面积。题目中已经给出了已知大面积金属板的实际面积大小，并给消费者们需要切割的小块金属的面积与需要的个数。由于利润和控制成本是生产商最重要的东西，所以在实际切割的时候，一定要考虑效率和成本。尽量最大的进行成本节约。我们采用数学建模的方式来解决这一实际问题。通过这样的方式处理问题可以做到高效、直观和准确。二、问题假设（1）假设车间是以减少原料投入为主要节省方式。实际上，金属加工生产中的余废料价值远远小于完整的原料价值，因此这样假设确立了模型是以最小原料使用量为目标。（2）金属切割时不发生原料总面积减少。在生产实践当中，由于切割工艺问题，在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损（如融化，形变等）。在模型中假设这种耗损不存在。（3）不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加。作为简单的直线切割问题，生产模式的增加对设备要求、人力要求很少，因此对成本的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的数量。（4）假设所有原材料的大小规格完全一致，这样假设避免一些不确定因素对模型求解时的不利影响，简化模型。4三、模型建立符号说明K：使用本来已有的大金属板的个数Xi：第i种方案所用的原料数A：dm5036产品B：dm3624产品C：dm3018产品模型建立此题总体思路为建立一个非线性规划模型，通过题目要求条件对目标函数的控制，实现目标函数的最优解。1.穷举我们小组首先采用了穷举的方法，即一块大金属板切割后所能产生的所有可能性。如下表所示：123456789101112A221111000000B103210543210C010235023568剩余144468216032410828872396180504288表12.筛选根据表1，我们小组把剩余过大的切法删掉。因为剩余过大意味着浪费，意味着成本的提高。我们删掉了2,5,9,11，余下1,3,4,6,7,8,10,12共8组。建立新的表格。如下表所示：12345678A211100005B13205420C00250258表23.非线性规划：目标函数的建立：K=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8；由于采用原料使用量最少原则，因此只需将各种模式下使用原材料的数量加和得到目标函数K，然后求解满足题目条件的最小数值。通过已经建立的表2，我们可以发现有模式1、2、3、4能切割A型产品，并且A型的小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X1、X2、X3、X4之和大于或等于8；通过已经建立的表2，我们可以发现有模式1、2、4、5、6、7能切割B型产品，并且B型小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X1、X2、X3、X5、X6、X7之和大于或等于13；通过已经建立的表2，我们可以发现有模式6、7、8能切割C型产品，并且C型小金属数量不能少于消费者的需求。所以满足这一项的约束条件是：X3、X4、X6、X7、X8之和大于或等于15；四、问题的求解与分析对于这样一个建立数学模型的问题，我们小组采用编写LINGO软件程序，利用其中的数学规划功能求解该问题。对于LINGO软件的使用包括以下几个步骤：1．编写目标函数，在编程过程中，我们小组使用min代替。2．编写约束条件，根据之前已经分析好的约束条件来编写。63．点击控制按钮，得到最终可能性的编辑。model:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;x1+x2+x3+x4=8;x1+x2+x3+x5+x6+x7=13;x3+x4+x6+x7+x8=15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);软件的编程截图如下：五、求解结果利用LINGO软件，求解出金属板最少使用量以及达成此目标的具体模式分配。软件的截图如下：7由于我们小组的编程水平有限，在实际编程中，未能把表2的表格编程编入LINGO软件中，所以我们只能看到应该选择哪种方案，而不能具体从编程中得到需要切割具体数量。根据LINGO软件的显示，最优化的切割方式应该是全部采用第三种方法。这和我们小组的设想是一样的。原因很明显，根据表2来看，只有第3种的切割方法的剩余量是0。这就做到了成本的高效实用，因为我们没有造成任何浪费。根据表2可知，第三种切割方法是：1块A产品，2块B产品，3块C产品。根据产品的需求量可以很轻松地得到：至少需要8块大金属板，按照方式3来切割就可以在节约成本的基础上满足全部需求！六丶模型的评价1.模型的优缺点模型的优点即，在建立过程中，充分考虑了在解决此问题当中的实际意义，确立了以所用原料最少的目标函数，使模型的大体方向正确，利于解决实际问题。模型的缺点为，对于一个二维的非线性规划问题，如果一点涉及的规划条件复杂化，很难采用穷举法将所有可能的情况全部举例说明，而且可能遗漏部分需要讨论的情况。因此，对待更加复杂的非线性规划问题，应该采用模型约束条件来限制目标函数。82.模型的改进由于小组成员的编程水平有限，未能将表格数据编写进入LINGO软件，这是本模型的一个不足之处。如果编程水平过硬，此模型解决本问题的效果将会更好。另外，LINGO并不是唯一的建模软件，还有其它的一些建立模型的软件，相信这些软件都各有千秋，各自都会针对模型进行该井。以后如果有机会应该多多尝试。七、结论由运算结果可知，将8块金属板材分别用方式3进行切割，最终可得：8块A型板，16块B型板，16块C型板。多出了3块B型板和1块A型板。虽然部分产品型号超过了订单需求，但是我们根据严格的节约成本的原则，已经做了优化的选择。这个题目充分显示了，数学建模在实际应用中强大的生命力。八丶参考文献[1]佚名.3分钟LINGO速成.[2]百度文库.LINGO教程.