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1一、问题重述1.1背景分析自1998年我国实行住房改革以来，房地产行业已经逐渐成长为拉动中国经济增长的龙头产业。近几年在国家积极的财政政策刺激下，我国房地产市场处于不断发展阶段。然而，与美国等发达国家住房市场进入成熟期不同，我国正处在城市化和工业化进程加速阶段，住房水平低和需求比较旺盛，这是我国住房市场快速发展的重要基础。中国房地产一方面在快速发展之时，在总体上对经济社会的发展确实起到了促进作用；另一方面由于不规范的房的销售价格行为、地价的上升造成放的开发成本提高等因素造成房价不断上涨，严重超出了普通居民的购买能力，给其造成了巨大的购房压力。1.2问题重述根据近几年中国上海房地产市场现状，解决以下四个问题：(1)结合对房地产的了解，收集近几年上海房地产的价格走势，预测未来三年上海房价的状况。(2)结合对上海市近几年来房价的了解，分析并建立合理的数学模型，得出“国五条”具体怎样影响房价。(3)综合考虑上海的CPI，结合对房价的了解，谈谈房价如何对CPI产生影响。(4)在2012年拥有100万元人民币的前提下，写出一种合理的分配方案，用这笔钱投资到CPI中的各项因素。二、问题分析2.1对于问题一的分析问题一要求根据近几年上海房地产的价格走势，来预测未来三年上海房价的情况。首先，通过在《上海统计年鉴》找到上海近几年的房价,为得到较为准确的预测，我们选取了最近十年上海的房价，因为长时间的数据能反映更多更合理的问题，不会太过片面对结果造成较大偏差。历时十年，期间政府的宏观调控或制定的稳定物价等等措施必然会对房价造成影响，如果考虑政策措施和其他因素的影响，问题将变得非常复杂。反而，我们可以将这些因素看作市场经济的调控，房价因受到这些因素影响而产生变化。那么，实际呈现出来的房价变化就应该是有效的房价变化。我们在模型的假设部分阐述了不考虑政府的政策措施对近几年房价的影响。综合了以上分析，我们将搜集到的数据整理制成表格，绘制出年份-房价变化折线图，可以发现随着年份的增长，上海房价也在不断增长，且在一条直线周围上下波动，因此我们建立一元线性回归模型，来寻求上海房价与年份的线性关系。然后根据最小二乘法来确定其中参数（一次项系数和常数项）的值，最终确定此回归方程。然后通过求判定系数2R的值，来判断模型对数据的拟合程度，确定该方程的合理性。最终对x进行赋值，得到相应的房价。2.2对于问题二的分析问题二要求找出“国五条”具体如何影响房价的，就是求“国五条”五项措施对房价影响的比重,即某项措施的影响大小，从而反应出“国五条”是如何影响房价的增长问题。2首先，根据题目信息，运用层次分析法，建立层次分析模型。以调控房价为目标层，以不规范房的销售价格行为和地价上升致开发成本提高作为准则层，以五项措施作为措施层。这里准则层在选择时，在参考了题目给定的房价上涨的两个原因外，通过查阅资料发现，土地增值税也对房价产生不少影响，所以准则层有三个因素。然后求各层中各个指标的重要程度，即权重。第一步，根据实际情况和经验，比较得出不规范房的销售价格行为和地价上升致开发成本提高对房价上涨影响程度大小，总结成它们的判断矩阵，通过Matlab求出各项的权向量。接着对准则层进行误差分析，确定层次建立的合理性，继而总结出不规范房的销售价格行为和地价上升致开发成本提高对房价变化导致怎样的影响。第二步，仍根据经验和实际情况，比较完善稳定房价工作责任制，坚决抑制投机投资性购房，增加普通商品住房及用地供应，加快保障性安居工程规划建设和加强市场监管这五个调控措施在不规范的销售价格行为和地价上涨两个准则下的相对重要程度，建立它们之间的判矩阵，计算措施层五项措施的权向量，即是反应重要程度的权重。比较各个权重大小，将各个措施重要程度排序，进一步分析出各措施具体是如何影响房价的。2.3对于问题三的分析问题三要求综合考率上海的CPI，结合第一问和第二问对房价的了解，分析房价的变动对全国居民消费价格指数(CPI)的影响。显然，我们难以根据房价的变动直接得出其与上海居民消费价格指数(CPI）的直接关系，也就是说房价不是直接影响CPI的指标，但房价却可以影响CPI中的某项指标来进一步影响CPI。在CPI的各项指标中，居住这项指标与房价关系最为紧密，其他的几乎毫无联系，且可以判断，这两项必定存在直接的关系。因此我们将各项指标概括为居民的消费水平，即居民对于购房或者用于房地产的其他开支，例如装修和增加设施，但主要还是对房地产的购买。在经济市场中存在一个经济现象：商品价格上涨，购买力下降，反之则价格上升。在没有其他因素的影响下，将保持这个规律。应用于本问中，房价上涨，居民对房屋的购买支出会相对减少，而在这一段时间内CPI指数便会相对降低，这样就可以初步确定,房价和CPI之间的关系了。然而，我们要考虑两个问题：一，房价变动与购房支出的关系；二，购房支出预CPI指数的关系。房价变动对居民购房消费的影响是可以借鉴经济学中价格变动对消费者消费的影响，两者之间一定存在某种对应关系。其次，购房支出可通过拟合近几年上海居民购房总支出与上海CPI，得到两者之间的线性关系。最后，整合这两问便可得出房价与CPI之间具体的关系。2.4对于问题四的分析问题四中，假定有100万元，要求我们投资到CPI中的各项因素，然后写出一种合理的方案。显然，这是一个投资问题，投资问题最重要的一点就是追求收益的最大化，否则投资是无意义的。但是本题有多个模糊点，就是投资一年还是多年，投资到一项指标还是多项指标；如果投资多年，能不能够从第二年或者第三年后重复投资亦或停止投资以及每年的投资与获益率是否受其他因素的影响等等。因此，在综合考虑之后，我们对问题进行合理优化，将问题确定为：100万元用于对CPI八项指标的投资。联系第一问，假定投资时间为三年，且没有重复投资或中途终止投资的现象。然而要保证三年后的利润最高，并将资金合理分配给八项指标，这属于优化配置类线性规划问题。显然，各项指3标之间不具有太多的关联性。因此，我们可建立线性优化目标函数，利用Lingo软件进行求解，最终得到最优解和最优配置方案。三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：1、考虑到上海市各个地区的房价各有不同，并且受到多种因素影响，因此在搜集资料时，我们选择性搜集了从2003年2012年上海每年的总体房价，即每年的房价直接由官方统计数据给出，不再自己结合影响因素统计；2、在问题已的求解时，暂不考虑任何政府措施；3、在不改变题意的情况下，我们将问题四总结出一个较为清楚的问题；4、不考虑CPI各项指标之间的关联性；5、不考虑投资时存在的风险。四、符号说明及名词解释4.1符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：x年份（时间）iy第i年的房价ijX表示第i年投资第j项指标的资金ijY表示第i年投资到第j项指标的期本利iZ表示第i年末时的总资金jP表示第j个指标的风险率,,ABC表示判断矩阵M表示居民购房消费ijW表示第i年第j个指标的投资收益率(1)(2)ww判断矩阵权向量4.2名词解释1.CPI全国居民消费价格指数（CPI）,是度量居民生活消费和服务价格水平随时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况。它涵盖全国城乡居民生活消费的食品、烟酒及用品、衣着、家庭设备用品及维修服务、医疗保健和个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八大类。2．投资回报率经济学名词，指投资后所得的收益与成本间的百分比率。投资回报率一般可分为总回报率和年回报率。总回报率是不论资金投入时间，直接计算总共的回报率，亦即：总回报率=利润/投入成本。年回报率则是计算平均资金投入一年所得到的回报率。4五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。5.1问题一的建立与求解5.1.1对数据的定量分析通过查阅上海统计年鉴的房地产相关资料，我们得到上海近十年来房地产的价格情况，统计整理后制成如下表格，见表1：表12003-2012年上海房产价格表年份2003200420052006200720082009201020112012房价5119.2766688.3526842.0047196.0078360.9848255.01312839.9814399.8914502.2916537..52由上表不难发现，上海房价从03年到07年一直呈增长之势，不过在07年到08年出现小幅度下降，但在08年以后一直处于持续增长阶段，并在09年突破一万元，创历史新高，总的来说呈上升之势。但为进一步清楚反映出房价的总体走势，我们将表1绘制成折线图，如下所示：年份-房价图0200040006000800010000120001400016000180002003200420052006200720082009201020112012年份房价年份-房价散点图02000400060008000100001200014000160001800020002002200420062008201020122014年份房价图12002-2012年房价变化折线图图22002-2012年房价变化散点图由图1可以清楚地得到，由于各种可变动因素的影响，近十年来上海房价总体上呈波动上升的趋势，但仍然有些年份变化趋于平缓或略有下降。因此，为进一步得出房价随年份变化的关系，在下面建立模型求解。5.1.2建立一元线性回归模型(1)模型建立5我们进一步将表1的数据绘成散点图，如图2。描出散点图可发现，随着年份的增长，房价也在不断增加，且房价的值总是在一条正斜率的直线上上下波动，散点的趋势很符合一元线性直线，即年份与房价之间可能存在线性关系，故基于对散点图的观察和相关问题分析，我们建立一元线性回归方程求解。首先，我们建立一元线性回归模型。假设房价y与年份x存在关系：2,~(0,)yabxN其中a、b及2都是不依赖于x的未知参数，b称为回归系数，因变量y由两部分组成，一部分是x的线性函数abx，另一部分是随机误差，是人不可控制的。(2)最小二乘法估计a、b值然而要使误差达到最小，即样本观测值与估计值的差最小，但由于差值的符号不确定等因素的影响，然要使结果最优化，最终确定求差值的方差，使之更具有说服力。即求：2211(,)()nniiiiiQabyabx达到最小为原则，对未知参数a和b的估计称为未知参数a和b的最小二乘估计，估计值记为ˆa和ˆb。这时称ˆˆˆyabx为y关于x的经验回归方程，简称为回归方程。其图像为直线。根据公式111122211111()()()()ˆ()()ˆ1ˆˆnnnniiiiiiiiiinnniiiiiinniiiinxyxyxxyybnxxxxbayxybxnn求得ˆa，ˆb的值。其中ˆ1285.32a，ˆ2570197b；因此，可得出y关于x的回归方程：y=1285.322570197x(3)拟合优度检验以上y关于x的回归方程是否可以作为反映近十年来房价的变化还有待检验。而一元线性回归方程的检验，可以通过判定系数2R来判别。其判别条件为：可决系数则越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。通常有这样的判别系数关系式：222ˆˆ()()()iiiiYYYYYY和判别系数求法：222ˆ()1()iiiYYRYY可求出判定系数为：20.926R这可以解释为，该线性回归方程可以反映出表1中92.6%的数据，即数据具有很好的符合性，因此可以采用此方程。与此同时，我们利用Excel作回归分析得到回归统计表，方差分析表，残差和标准误差的数表（见附录一），发现其与所求出的回归方程及判别系数基本吻合，由此可见6此模型建立的合理性。5.1.3确定以后三年房价通过上一问的求解，我们得到房价y关于年份x的回归方程，因此便可对x赋值，令2013,2014,2015x，便