2014年江苏高考数学卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合A={4,3,1,2}，}3,2,1{B，则BA▲.2.已知复数2)i25(z(i为虚数单位),则z的实部为▲.3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是▲.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5.已知函数xycos与)2sin(xy(0≤),它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是▲.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列}{na中,,12a4682aaa,则6a的值是▲.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S，2S，体积分别为1V，2V，若它们的侧面积相等，且4921SS，则21VV的值是▲.9.在平面直角坐标系xOy中,直线032yx被圆4)1()2(22yx截得的弦长为▲.10.已知函数,1)(2mxxxf若对于任意]1,[mmx,都有0)(xf成立,则实数m的取值范围是▲.11.在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b为常数)过点)5,2(P，且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是▲.12.如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，PDCP3，2BPAP，则ADAB的值是▲.13.已知)(xf是定义在R上且周期为3的函数,当)3,0[x时,|212|)(2xxxf.若函数axfy)(在区间]4,3[上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是▲.14.若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知),2(,55sin.(1)求)4sin(的值；开始0n1nn202n输出n结束（第3题）NY组距频率10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）ABDCP（第12题）(2)求)265cos(的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCP中，D，E，F分别为棱ABACPC,,的中点.已知ACPA,,6PA.5,8DFBC求证:(1)直线//PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,21,FF分别是椭圆)0(12322babyax的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结CF1.(1)若点C的坐标为)31,34(,且22BF,求椭圆的方程；(2)若,1ABCF求椭圆离心率e的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),34tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？（第16题）PDCEFBA170m60m东北OABMC（第18题）F1F2OxyBCA(第17题)19.(本小题满分16分)已知函数xxxfee)(,其中e是自然对数的底数.(1)证明:)(xf是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式)(xmf≤1emx在),0(上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在),1[0x，使得)3()(0300xxaxf成立.试比较1ea与1ea的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{na的前n项和为nS.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称}{na是“H数列”.(1)若数列}{na的前n项和nnS2(nN),证明:}{na是“H数列”;(2)设}{na是等差数列,其首项11a,公差0d.若}{na是“H数列”,求d的值；(3)证明：对任意的等差数列}{na，总存在两个“H数列”}{nb和}{nc，使得nnncba(nN)成立.参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16.（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点∴DE∥PA又∵DE平面PAC，PA平面PAC∴直线PA∥平面DEF（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵ACEF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC17.（1）∵BF2=，将点C（，）代入椭圆22221(0)xyabab，∴221611(0)99abab，且c²+b²=a²∴a=，b=1,∴椭圆方程为2212xy（2）直线BA方程为y=x+b,与椭圆22221(0)xyabab联立得x²x=0.∴点A（，），∴点C（，），F1（）直线CF1斜率k=，又∵F1C⊥AB，∴·=∴=1，∴e=18.（1）过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AD⊥BE于点F。∵tan∠BCO=，设BC=5x，CE=3x，BE=4x，∴OE=，AF=170，，EF=AO=60，BF=4x60又∵AB⊥BC，且∠BAF+∠ABF=90°，∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠BAF=90°，∴tan∠BAF===，∴x=30，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=（x），即4x+3y∴半径R=，又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，∴RAM80且R80，∴80，80，∴35，∴R=此时圆面积最大。∴当OM=10时圆形保护区面积最大。19.（1）∵x()fx=+=()fx，∴()fx是R上的偶函数（2）∵()fx+2=21，∴()fx，∴m（()fx）1，∴m=，令()gx=，()gx=，∴x时()gx()gx单调减，x时()gx()gx单调增，∴()gxmin=(ln2)g=，若关于x的不等式m()fx+m1在（0，+）上恒成立，则只要m()gxmin恒成立，∴m。∴m（]。（3）由题正数a满足:存在x0[1，+），使得0(x)f（x03+3x0）成立。即+（x03+3x0）令()hx=+（x3+3x），即()hxmin0。hx-=+3a，当x[1，+）时，hx0，()hxmin=(1)h=e+-2a0，∴a+。要比较与的大小，两边同时取以e为底的对数。只要比较a-1与（e-1）lna的大小。令y=a-1-(e-1）lna，y=1-，∵a++e-1，∴a（+）时yy单调减，a（）时yy单调增，又∵+，当a=1时，y=0，∴当a=+时，y0，当a=e时，y=0。∴a=e-1时，y0。∴当+时，y0，此时a-1（e-1）lna，即。当a=e时y0，此时a-1（e-1）lna，即。当ae时y0，此时a-1（e-1）lna，即。20.（1）证明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n）。∴存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。=1+（m-1）d成立。化简得m=+1+，且d0，又m，，d，且为整数。（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n+=+（-1），=++1，∴=（）同理=（）取==k由题==+（-1）++（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1））可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}和{}同时也是“H数列”满足条件。