北京市十一学校导数模块经典例题(含答案)

导数及其应用预习题纲1—导数的概念与运算班级姓名1.平均变化率的实际意义是什么？如何用数学语言刻画函数的平均变化率？它的几何意义是什么？xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率。2.平均速度与瞬时速度的有什么区别和联系？3.书P5练习A补充思考问题：①在比赛过程中是否总是乙快呢？②是否存在甲与乙速度一样快的时刻呢？③如果存在甲与乙速度相同的情况，结合本问题已有结论，是否会存在甲比乙快的情况呢？④在图中能准确展示吗？如范围或固定位置.⑤如果给的运动图是t-v图，如何计算相应的位移呢？4.导数的定义？如何判断函数应在点0x是否存在导数？你能判断函数330()10xxfxxx在0x可导吗？函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|0xx。即f（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。注意：①函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。②函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。③可导的前提是连续，但连续不一定可导，如y=|x|在x=0处不可导。④导数是一个局部概念，它只与函数)(xfy在0x及其附近的函数值有关，与x无关。5.①考虑0(1)(1)limxfxfx与0(12)(1)limxfxfx的关系②x取值有什么要求吗？y是否可以等于0.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxox。6.求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；②求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；③取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim。7.导数的几何意义导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy。8.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s（t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。9.)(xf在0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线存在，二者之间充要条件吗？若)(xf在0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线存在。反之不然，若曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线，函数)(xfy在0x不一定可导，并且，若函数)(xfy在0x不可导，曲线在点（)(,00xfx）也可能有切线。10.导数与导函数都称之为导数，你能区别吗？导数是函数的整体性质还是局部性质？如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。所以函数)(xfy在0x处的导数也记作)(0/xf。注：1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的0x换成x就可，即)(/xf＝xxfxxfx)()(lim0一般地，axbax)(lim0，其中ba,为常数。特别地，aax0lim。11.f′(x0)与(f(x0))′一样吗？注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.12.曲线y=f(x)在点P处的切线与过点P的曲线y=f(x)的切线有什么不同.13.常用的导数计算公式(C)′=(C为常数);(xn)′=(n∈N+);(sinx)′=(cosx)′=-(ex)′=(ax)′=(a0,且a≠1);(lnx)′=(logax)′=(a0,且a≠1).(C)′=0(C为常数);(xn)′=nxn-1(n∈N+);(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;(ax)′=axlna(a0,且a≠1);(lnx)′=1x;(logax)′=1xlogae(a0,且a≠1).14.导数满足那些运算，举例说明如何求简单复合函数的导数法则1:［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).法则2:［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).［Cf(x)］′=Cf′(x)法则3:2()()()()()()()uxuxvxuxvxvxvx(v(x)≠0).复合函数的导数：设)()(xuufy、均可导，则复合函数)]([xfy可导，且).()(xufuyyxux求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别需要注意中间变量的系数.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.导数的概念及运算上课用导数它既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材．导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一．1．导数的概念：设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果当0x时，xy有极限，称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xf在0x处的导数，记作)(0xf或0xxy．即00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx．2．导数的几何意义函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义是曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线的斜率是)(0xf．相应地，切线方程为))((000xxxfyy．3．导数的运算：（1）基本函数的导数公式：()0C；1()mmxmx；(sin)cosxx；(cos)sinxx；1(ln)xx；1(log)logaaxex；'xxee；'lnxxaaa．(2)导数的运算法则：设)()(xvvxuu、均可导，则()uvuv；()uvuvuv；uCCu)(（C为常数）；)0(2vvvuvuvu(3)复合函数的导数：设)()(xuufy、均可导，则复合函数)]([xfy可导，且).()(xufuyyxux例1（2008北京卷）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff；0(1)(1)limxfxfx．（用数字作答）分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口．解：由图形可知，((0))42fff，0(1)(1)40lim'1202xfxffx．归纳小结：(1)本题考查了函数的表示形式，导数的概念和几何意义等知识点，以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力．(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征，合理进行转化．利用导数的概念公式，0000()()lim()xfxxfxfxx，并结合其几何意义0()fx为曲线在点))(,(00xfxP处的切线的斜率．（3）本题常见的变形结构：0(1)(1)limxfxfx、0(12)(1)limxfxfx等代数式的值．解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式．如：000(1)(1)(1)(1)limlim'xxfxffxffxxx；0020(12)(1)(12)(1)lim2lim2'2xxfxffxffxxx.练习．(1)设函数()fx在2x处可导，且(2)1f，求0(2)(2)lim2hfhfhh；(2)已知()(1)(2)(2008)fxxxxx，求(0)f.解：(1)由已知条件和导数的定义，可得：0(2)(2)lim(2)1xfxffx，当xh时，00(2)(2)(2)(2)limlim1hhfhfhffhhh00(2)(2)[(2)(2)][(2)(2)]limlim22hhfhfhfhfffhhh001(2)(2)1(2)(2)1[lim][lim][11]1222hhfhfffhhh.(2)解法一：000()(0)()(0)limlimlim(1)(2)(2008)2008!0xxxfxffxfxxxxx解法二：令()(1)(2)(2008)hxxxx，则()()fxxhx从而由导数乘法的计算公式得()()()fxhxxhx所以(0)(0)0(0)(0)1220082008!fhhh例2．求下列函数的导数(1)2(21)(31)yxx(2)2211xxyxx(3)11xyx(4)32xxxyee(5)2ln1xyx(6)2sin(cos)yx分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数．解：(1)解法一：232(21)(31)6231yxxxxx，32322(6231)(6)(2)(3)1843.yxxxxxxxx解法二：22222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)12463yxxxxxxxxxx21843