第二节-二重积分的极坐标部分的计算

1§9.2二重积分-----2教学目的：了解二重积分的极坐标计算公式导出的方法；熟练掌握极坐标系下的二重积分公式；熟练掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；并能根据条件选择合适的方法计算积分.重点及难点：能熟练正确地进行极坐标系下的二重积分的计算；掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；根据条件选择合适的方法计算积分.教学方法:直观教学，启发式讲授（续：在极坐标系下二重积分的计算）四、利用极坐标计算二重积分1．极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式cossinxryr或222tanyxrxy（3）常见曲线的极坐标方程3（从极点出发的射线）；4,33（直线3yx）；3r（圆229xy）；6cosr（圆22(3)9xy）；6sinr（圆22(3)9xy）.2．极坐标系中的面积元素drdrd.见图知:2211()22iiiiiirrrODriiiiiriirr221()2iiiiirrr.上式取0,0iir，略去高阶无穷小量21()2iir，推出drdrd.3．用极坐标系计算二重积分(,)(cos,sin)DDfxydfrrrdrd.其中:{(,)|cos,sin,(,)}DxyxryrrD1212{(,)|,()()}rrrr.结论：即极坐标系下的二重积分也要化成二次累次积分才能计算.4．用二次累次积分公式计算二重积分(1)若12{(,)|()(),}Drr[极扇环，极点在扇环外],则(cos,sin)Dfrrrdrd21()()(cos,sin)dfrrrdr.ODabrrOabDrOD)(2r)(1r3(2)若{(,)|0(),}Drr(极点在边界上的极扇形),则(cos,sin)Dfrrrdrd()0(cos,sin)dfrrrdr.(3)若{(,)|0(),02}Drr(极点在内部的极扇形),则(cos,sin)Dfrrrdrd2()00(cos,sin)dfrrrdr.例1（1）计算22xyDIedxdy，其中D是由中心在原点，半径为R的圆周所围成的闭区域222xyR.（此积分无法用直角坐标积分计算）.解利用极坐标积分，积分区域为{(,)|02,0}DrrR,则rOD)(r2yxODraO)(1rr)(2rDrO)(2r)(1rD4ed22()xyDIeddded22200RrrDrrrredee222002(1)RrrRRrr.（2）计算二重积分221Ddxy，其中区域D是由221xy所围成的圆域.解：(,)|02,01Drr2122200111Dddrdrxyr2221200001ln2ln2ln(1)|[]ln2222rdd.（3）计算22DIxydxdy，其中D是圆周222xyy所围成的闭区域.解：圆222xyy的极坐标方程为2sinr，积分区域(,)|0,02sinDrr22DIxydxdy2sin00drrdr32sin300018[]sin33rdd208sincos3d208(1cos)cos3d308132[coscos]339.yxODra5（4）计算积分arctanDydx，D为圆环2219xy与直线,0yxy所围城的第一象限内的区域.解(,)|0,134Drr，3401arctan8Dyddrdrx.(5)(00.6)计算二重积分d222224Dxyaxy,其中D是由曲线22(0)yaaxa和yx围成的区域.解积分区域D可表示为{(,)|0,02sin}4Drra,于是d222224DxyIaxydd202sin22044-aθrrar,5.重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为22(),(),()xyfxyffyx时.（前面讲过的例9）（1）求由0z,圆柱面221xy及抛物面222zxy所围成的曲顶柱体体积.解22(2)DVxyd6212003(2)2drrdr.例3化下列二重积分为极坐标形式（1）2232223cos004()()xxIdxfxydydfrrdr.（2）2114cos000tansec()(tan)xyIdxfdydfrdrx.（3）22101(arctan)xxyIdxfdyx1210sincos()dfrdr.（4）212201()xxIdxfdyxytansec42001()dfrdrr.（5）1100(,)Idxfxydysec400(cos,sin)dfrrrdrsc204(cos,sin)cdfrrrdr（6）2112201()xxIdxfxydy1210sincos()dfrrdr(7)2222200()aaxxIdxxydy2cos3200adrdr4442034cos4ada.76.极坐标系下积分区域的面积为DDdrdrd.提问(96.3)累次积分ddcos200(cos,sin)θfrrrr可以写成(A)dd2100(,)yyyfxyx(B)dd21100(,)yyfxyx(C)dd1100(,)xfxyy(D)dd2100(,)xxxfxyy答(D).因为积分区域D的边界cosr可以表示成cos2rr41)21(2222yxxyx且0y于是}cos0,20|),{(rrD2{(,)|01,0}xyxyxx2211111{(,)|0,},22424xyyyxy故累次积分可写成yyxfxxx2010d),(d或xyxfyyy2241214121210d),(d.例4（1）(04.8)求d22()Dxyy,其中D是由圆224xy和22(1)1xy所围成的平面区域(如图138).提示将积分区域D分为大圆221{(,)|4}Dxyxy,8与小圆222{(,)|(1)1}Dxyxy之差.由对称性知d0Dy.dd122222DDxyxydddd3222cos2220002rrrr163216(32)399,（2）(05.9)计算二重积分d221Dxy,其中{(,)|01,01}Dxyxy.提示将D分成1D与2D两部分,其中1{(,)|0,01}2Drr,22{(,)|01,11}Dxyxxy则d221Dxy()d()d12222211DDxyxy2d(1)dd()d211122200011xrrrxxyy推出d22123118331643Dxy.五、广义二重积分（无界区域上的反常二重积分）无界区域上的反常二重积分是概率统计中广泛应用的积分形式。和一元函数类似，一般是在有界区域内积分，再求极限使有界区域趋于原无界区域。以下举例说明常见的广义二重积分d22Dxy9例5证明1()2，2xIedx.（泊松积分）【10()(0)rxrxedxr，0(1)1xedx】证明因为2222000sxyedsedxedy22()00xyedxdy2200rderdr2201(1)2244redr.所以2212001()22tststedteds24.另证221200111()222tsstedstedt设22xyDHed，且(,)|0,0Dxyxy一方面22xyDHed2220011[()]22xyedxedy；另一方面(,)|0,0Dxyxy(,)|0,02rr222200xyrDHedderdr22200011[]|224redd由2111(())()2242.证法三：设102221(,)|,0,0DxyxyRxy，(,)|0,0SxyxRyR2222(,)|2,0,0DxyxyRxy.作积分区域矩形的内切圆与外接圆，由夹逼原理得则由22222212xyxyxyDSDededed得22222(1)(1)44RxyRSeede，将上式取R求极限得224xySed，即202xIedx.例6(90.5)计算二重积分edd2yDxxy,其中D是由曲线24yx和29yx在第一象限所围成的区域.解积分区域可表示为{(,)0,}32yyDxyyx，eddded22203yyyyDxxyyxxe]d222031[2yyyxy()eded22001524972yyyyyyy20155()|272144ye.小结：1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分，简化二重积分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示.学会灵活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化.2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元11素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用.3.下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为22(),(),()xyfxyffyx时.4.极坐标系下积分区域的面积为DDdrdrd.课后记：存在问题:不能正确表示出二次累次积分;不能正确进行直角坐标与极坐标二重积分的互化;不能正确写出积分限.计算错误多.