第二节-平面简谐波的波动方程

上页下页返回退出上页下页返回退出机械波振动在空间的传播过程叫做波动上页下页返回退出上页下页返回退出机械波电磁波经典波机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的弹性介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射叠加性干涉衍射两类波的共同特征上页下页返回退出上页下页返回退出弹性介质和波源——（机械波产生的条件）纵波和横波：(1)质元并未“随波逐流”波的传播不是媒质质元的传播(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现---波是振动状态的传播波长、频率、和波速之间的关系uT上页下页返回退出上页下页返回退出平面简谐波的波函数一、波函数（定量描述波在空间的传播）数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间变化的关系.()()()rtfrtfxyzt，，，，，二、平面简谐波的波函数平面简谐波：波面为平面的简谐波.简谐波：在均匀、无吸收的介质中，波源作简谐振动时，在介质中形成的波动.上页下页返回退出上页下页返回退出xy平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。上页下页返回退出上页下页返回退出yxxPOtypP0y(t)=y(t)uO点处质点的振动表达式为：00(')cos(')ytAtxt=t-u()()P0yt=ytP处质点在时刻t的位移为：0xAcosωt-+=u0x=y(t-)u波动表达式：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系.上页下页返回退出上页下页返回退出P处质点在时刻t的位移为：()P0xyt=Acosωt-+u因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能由上式给出。此即所求的沿x轴正方向前进的平面简谐波的波函数。波函数沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：上页下页返回退出上页下页返回退出uu沿x轴正方向传播沿x轴负方向传播P点落后o点xuxut=t-xuP点超前o点OxyPOxyPt=t+xu时间时间波函数为：0(,)cos[()]xyxtAtu上页下页返回退出上页下页返回退出上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤：⑴已知某点的振动方程（不一定是波源）⑵根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序,找出时间差(0)⑶将时间差代入已知振动方程，即可得波方程：(P先振)0(,)cos[()]xyxtAtu0(,)cos[()]xyxtAtu(P后振)上页下页返回退出上页下页返回退出波函数其它形式0cos2()txyAT0cos2()xyAt0cos()yAtkx02cos()xyAt角波数：表示单位长度上波的相位变化2k利用关系式22TuT，得和0(,)cos[()]xyxtAtu上页下页返回退出上页下页返回退出波动表达式的意义：上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率作振动。12cosxyAt即x一定：令x=x1，则质点位移y仅是时间t的函数。tyOAT上页下页返回退出上页下页返回退出12cosxyAt即以y为纵坐标、x为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。xyAut一定:令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。上页下页返回退出上页下页返回退出x沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：xxx221212x、t都变化:实线：t1时刻波形；虚线：t2时刻波形uxyo1x12cosxyAt上页下页返回退出上页下页返回退出当t=t1时，01cosuxtAy当t2=t1+Δt时，01cosuxttAy在t1和t1+Δt时刻，对应的质点平衡位置用x1和x2表示，则1110()cosxytAtu2110()cosxyttAttuxuxyo1x上页下页返回退出上页下页返回退出1110()cosxutyttAttu1101cos()xAtytu令，得21xxt在Δt时间内,整个波形向波的传播方向移动了，波速u是整个波形向前传播的速度。21xxxutxuxyo1x2110()cosxyttAttu1110()cosxytAtu上页下页返回退出上页下页返回退出例1频率为12.5kHz的平面余弦波沿细长的金属棒传播，波速为35.010m/s.如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为0.1mmA，试求：（1）原点处质点的振动表达式；（2）波函数（向右传播）；（3）离原点10cm处质点的振动表达式；（4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差；（5）在原点振动0.0021s时的波形；上页下页返回退出上页下页返回退出解：由题意0.40mu波长周期51810sT（1）原点处质点的振动表达式（设其初相位为零）330cos0.110cos(2510)myAtt（2）波函数cos()xyAtu3330.110cos2510()m510xt上页下页返回退出上页下页返回退出（3）原点10cm处质点的振动表达式3330.10.110cos2510()m510yt330.110cos2510m2t两点间距离10cm0.10m4x相位差23330.110cos2510()m510xty（4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差；上页下页返回退出上页下页返回退出（5）时的波形0.0021st3330.110cos2510(0.0021)m510xy30.110sin5mxxyO30.1100.43330.110cos2510()m510xty上页下页返回退出上页下页返回退出例2一横波沿一弦线传播。设已知t=0时的波形曲线如下图中的虚线所示。波速u为12m/s，求(1)振幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形曲线.（a、b两点的对应的横坐标分别为15和35cm）/cmx/cmy4.02.04.05.01M2M5.02.0010203040506070abt=0上页下页返回退出上页下页返回退出解:由波形曲线图可看出：(2)波长=40cm；(1)振幅A=0.5cm；(3)波的周期s301sm12m4.01uT/cmx/cmy4.02.04.05.01M2M5.02.0010203040506070abt=0上页下页返回退出上页下页返回退出(4)质点的最大速率m/s94.0m/s3012105.022TAAvm(5)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后。(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移而到达和处。43'1M'2M/cmx/cmy4.02.04.05.01M2M5.02.0010203040506070ab'1M'2Mt=3T/4上页下页返回退出上页下页返回退出例3：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以v=0.08m/s的速度沿ox轴正向传播。求：(1)a、b两点振动方向;(2)O点振动方程;(3)波动表达式解：⑴由于波沿x正向传播，因此任意时刻任意点都将重复其前的点（图中左侧点）的振动，由此可知：这个问题也可以由下一时刻的波形曲线得到，如左图黄线示，而且比较直观。此外：a点将向下振动；b点将向上振动。上页下页返回退出上页下页返回退出mmA4.0,2.0)(508.04.0sVTsT/522⑵由已知图可得：⑶至此可写出波动表达式为：mxttxy]2)08.0(52cos[2.0),(点有由图有：初始时O｛0000Vy2mtty)252cos(2.0)(0上页下页返回退出上页下页返回退出例4：一列沿ox正向传播的简谐波，在时刻t1=0,t2=0.25s的两个波形如图所示。求：(1)P的振动表达式，(2)此波的波动表式，(3)画出O点的振动曲线。解：⑴由已知图分析可得：sradsT/21mmA6.0,2.0及：smTV/6.016.0波速当t=0时,对P点有：0000ppVy2pmtyp)22cos(2.0上页下页返回退出上页下页返回退出⑵任意位置x与P点的距离为(x-OP)由图可知：mop3.02mxOPx)3.0(mxttxy]2)6.03.0(2cos[2.0),(⑶当t=0时，O点有：00ooVy2o（或不判断初相而直接由原图分析）则有O点振动曲线如下:)22cos(2.0typ上页下页返回退出上页下页返回退出例5：平面简谐波某时刻波形如图。求：OP点距离。设此波向右传播解：由图易得：m40202波向右传播，则得图示时刻有（见下图）：03ooVmyO:P:0000ppVy6o2p设波表达式)22cos(xtAy上页下页返回退出上页下页返回退出可知：对同一时刻O、P两点位相差为：)22()22(popoxtxt)(2opxx3226po又：mxxOPop34031间距离：)22cos(xtAy6o2p上页下页返回退出上页下页返回退出2202cosyxAttu222221yyxut平面波的波动微分方程22022cosyxAtxuu三、波动方程的微分形式0cosxyAtu的二阶偏导数,得到求对xt、上页下页返回退出上页下页返回退出家庭作业：5.8、5.11、5.12、5.14