费根鲍姆常数的计算

费根鲍姆常数的计算符维成摘要：本文借助数值的方法计算了Logistic映射的费根鲍姆常数.关键词：Logistic映射；费根鲍姆常数；李雅普诺夫指数引言：确定性非线性系统中混沌现象的发现是20世纪继相对论，量子力学之后的第三次物理学中的革命.内在随机性是混沌的本质,无特征尺度是分形的研究对象[1].由于随机性的存在，非线性系统表现出对初值的敏感依赖性和系统状态的长期不可预测性.那么这种随机性和不可预测性是不是就等于杂乱无章，无规律可循呢？这个答案是否定，混沌不等于混乱，它还是有一些普遍的规律的.美国康奈尔大学的物理学家费根鲍姆证明了在Logistic映射中发现的通向混沌的道路——费根鲍姆道路——在向混沌转变的过程中的标度行为决定于两个普适常数即费根鲍姆常数.费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性.[2]在混沌理论中，菲根鲍姆常数也是一个重要内容.费根鲍姆，发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现------在倍周期分岔现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密.本文就Logistic映射计算费根鲍姆常数.正文：Logistic映射（1(1)nnnxrxx）的控制参数r在1rr时将产生倍周期分岔，称其为分岔区，稳定点的数目呈2n（0,1,2n）增加.r即为稳定点的数目趋于无穷大时对应的控制参数r.并且在此区间内李雅普诺夫指数总是负的，即0.而当控制参数4rr时系统进入混沌，将此区间称为混沌区.混沌区李雅普诺夫指数是正的，即0.那么由0过渡到0过程中将经历0，而0正好对应于分岔点[3].但是在混沌区仍有倍周期分岔，只是此时出现的这些周期是不稳定的，将其形象地称为周期窗口，因此混沌区又被这些周期窗口分割成为很小的小区间，因此在混沌区李雅普诺夫指数不恒为正.从图1周期分岔过程中可以看出，若考1.52.02.53.03.54.00.00.20.40.60.81.0BXr图1察相邻两个分岔点之间的控制参数之间的距离11nnnrrr，费根鲍姆发现，当n很大时前面两个分岔点的控制参数之间的距离是后面两个分岔点控制参数之间的距离倍，即：111limlimnnnnnnnnrrrrrr（1），而且还发现在超稳定2n环中最靠近的不动点之间的距离nd，当1n的时候还有：1nndd（2）他进一步揭示了同样的现象、同样的常数适用于广泛的数学函数领域，这个普适的结论使数学家们能够在对表象不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出了第一步.（1），（2）式中和这两个“极限率”通称为菲根鲍姆常数.算法：（1）的计算：由正文中的定义我们知道，在计算时首先要找出分岔点对应的控制参数，直至找出r，因此问题的关键就在于找出足够大的分岔点对应的控制参数r.由于在分岔点处李雅普诺夫指数的值为零，所以这可以作为一个条件找出Logistic映射中分岔点处对应的控制参数，并且在混沌区李雅普诺夫指数大于零，这个可以作为迭代终止的条件，这样就可以找出一定精度的所有的的控制参数.进而计算出.（2）的计算：这个的计算和（1）中计算的思路相近，首先是找出控制参数r，只不过这里不是找出分岔点对应的r，而是要找不与12有交点的r，然后找出以这些参数序列中最大控制参数和次大控制参数为控制参数的Logistic迭代式中与12最小的距离id，然后求其比之即可.具体程序如下：的计算程序：programfgbmdimplicitnonereal*8::x1,x2,r1,ran,lamda,s,r(40)=0,dinteger*4::x0,i,j,timex0=time()open(1,file='output1.txt')dor1=3.4,3.8,0.0001s=0doi=0,50x1=ran(x0)doj=0,10000x2=r1*x1*(1-x1)lamda=abs(r1-2*r1*x1)s=s+log(lamda)x1=x2enddoenddos=s/1000000if(abs(s)0.0005)thenwrite(1,*)r1,swrite(*,*)r1,sendifif(s0)exitenddopauseendprogramfgbmd计算结果：3.44930009412201-4.707427069922406E-0043.44940009411948-4.337001445370098E-0043.44950009411696-4.506012226305639E-0043.54400009172969-4.342582330538330E-0043.54410009172716-3.653100643154850E-0043.56440009121434-2.294104488474659E-004数据处理后得：=4.651105651105840的计算程序：programfgbmrimplicitnonereal*8::x1,x2,y1,y2,r1,r2,ran,x,lamda,sinteger*4::x0,i,j,k,timex0=time()open(1,file='output1.txt')open(2,file='output2.txt')dor1=3.4,3.7,0.00001s=0doi=0,5x1=ran(x0)doj=0,10000x2=r1*x1*(1-x1)x1=x2x=x2enddoy1=x1dok=0,100000y2=r1*y1*(1-y1)lamda=abs(r1-2*r1*y2)s=s+dlog(lamda)y1=y2if((abs(y2-0.5)0.00001).and.(s=0))thenwrite(1,*)r1,k,y2write(2,*)r1,swrite(*,*)r1,k,y2endifif(y2==x)exitenddoenddoif(s0)exitenddopauseendprogramfgbmr计算后得到最大的两个控制参数值为:3.5546400914609和3.56667009115699第二步programfgbmaimplicitnonereal*8::a(2)=(/3.5546400914609,3.56667009115699/),r,x,x1,x2,y1,raninteger*4::time,i,j,k,m,x0x0=time()open(1,file='output1.txt')open(2,file='output2.txt')doi=1,2r=a(i)x1=ran(x0)doj=1,500000x2=r*x1*(1-x1)x1=x2enddom=0y1=x2dok=1,100000x2=r*x1*(1-x1)x1=x2if((abs(x2-0.5)=0.00001).and.(abs(x2-0.5)0.05))thenm=m+1x=abs(x2-0.5)write(i,*)r,m,xwrite(*,*)r,m,xendifif(y1==x2)exitenddoenddopauseendprogramfgbma计算结果：3.5546400547027614.597438023040301E-0023.5666701793670711.833155892373406E-002处理后得：=2.507936200171143结论：计算结果还是比较理想的，和文献参上的参考值（=4.669，=2.5）[1]致.在调试程序过程中对于不同的扫描精度，计算出了一系列数值，随着扫描精度越来越小，计算的数值越来越稳定了，都是在以上计算结果附近.这说明在混沌演化过程中的确存在一定的有序性.费根鲍姆常数在认识和研究混沌现象过程中的地位与圆周率平起平坐，两者在数学以及数学与自然的关系中，都有非比寻常的重大意义.参考文献：[1]刘式达，梁福明，刘式适等.自然科学中的混沌与分形[M].北京:北京大学出版社，2003.[2]舒斯特（德）著，朱鋐雄，林圭年译.混沌学引论[M].成都：四川教育出版社，2010.[3]HeinzGeorgSchusterandWolframJust.DeterministicChaos.AnIntroductionFourth,RevisedandEnlargedEdition.WILEY-VCHVerlagGmbH&Co.KGaA.非线性动力学课程小论文题目：费根鲍姆常数的计算学院：物理学与信息技术学院专业：理论物理姓名：符维成学号：111570