现代信号处理(张贤达)

现代信号处理现代信号处理ModernSignalProcessingModernSignalProcessing清华大学自动化系张贤达电话：62794875Email:[e-mail]序言序言„信号：信息的载体„信号处理：从观测信号中获得隐含的信息。„经典信号处理：非参数化信号处理（工具：FFT）„现代信号处理：参数化信号处理„现代信号处理研究的问题„估计(estimation)：参数估计、信道估计、功率谱估计、波达方向估计、特征提取、时频分析、信号检测（多用户检测）…„滤波(filtering)：自适应滤波、信号处理的机器学习„辨识(identification)：系统辨识、目标识别、信号分类、反卷积与均衡课程特点及考核课程特点及考核„课程内容随机信号、参数估计、现代谱估计、自适应滤波、高阶统计分析、时频信号分析„课程特点„现代信号处理的主要理论、方法和应用“与前沿接轨”„数学知识（矩阵分析、数理统计、昀优化）„创新能力的培养„考核方式„习题（26%）„计算机仿真（实验3次，24%）„考试（50%）教材与参考书„教材：张贤达，现代信号处理（第2版），清华大学出版社，2002年10月第1次印刷，2004年11月第4次印刷（14,000册），本书已经正式确定为“北京市高等教育精品教材”„参考书：[1]S.M.Kay,ModernSpectralEstimation,Prentice-Hall,1988[2]S.Haykin,AdaptiveFilterTheory(3rdEd.),Prentice-Hall,1996[3]张贤达，现代信号处理习题与解答，清华大学出版社，2003年第1版第一章第一章随机信号随机信号本章主要介绍随机信号的基本概念：相关函数、功率谱密度、两个信号的正交、统计不相关和统计独立、相干信号以及它们的几个典型应用。„信号——信息的载体1.1.信号分类信号分类()()sttskk−∞∞⎧⎨⎩连续时间信号离散时间信号为整数1,01,0()sgn()0,00,ttuttt⎧⎪≥≥⎧⎧⎪==⎨⎨⎪⎩⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩确定性信号（按某函数取值，每时刻值可知）,例如其它随机信号（每时刻取值未知）：⑴取值是随机的（不能确切已知）⑵取值服从概率分布规律（统计特性确定，但未知）统计特性统计特性**1121()(;){()()}(;){[()()][()()]}3)(,,){()()()}(cumulant)(,,)cum{(xxxxxxkkkxtRtExtxtCtExtmtxtmtkkttExttxttxttkcttxttτττττμ−−−−−≥=+++=+LLL二阶统计量相关函数：信号协方差函数：高阶统计量（阶矩：阶累积量12),(),,()}kxttxtt++L按概率分布分类按概率分布分类„随机信号：也叫随机过程、时间序列。离散随机信号：离散时间序列：„随机信号按概率密度分类，分为„高斯信号：概率密度函数服从正态（高斯）分布的随机信号„非高斯信号：概率密度函数服从非正态（非高斯）分布的随机信号。()xk{()},1,2,,xkkN=L其中„平稳信号（统计量与时间无关）„广义平稳的条件„强平稳、狭义平稳平稳信号平稳信号(){()}()(;)()xxxxxxxtExtCCtCμττττ==∞∀=⑴均值常数⑵（有界），⑶⎧⎨⎩广义平稳（弱平稳、协方差平稳）狭义平稳1212(,,,)(,,,)1,,kxkkxkmtttmtttknnτττ=+++=LLL若（其中）成立，则称为阶平稳。严格平稳广义平稳，但反之一般不成立。高斯信号：严格平稳=广义平稳„非平稳信号（nonstationarysignal）不是广义平稳的信号统称非平稳信号遍历性平稳信号（续）平稳信号（续）2111111lim()()(,,)021{()}(,,){(()}1()()21NkkNtNkkNktNExttxttttNxtttExttxttxttxttNμμ→∞=−=−⎧⎫⎪⎪++−=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭=+++++∑∑LLLLL若则称为均方遍（态）历（经）信号。遍态历经信号：总体平均)可以用足够长的时间平均代替。„互相关函数*(){()()}xyRExtytττ−+共变部分相乘（取相同符号）不同变化（随机）部分相乘2.2.两个随机信号的二阶统计量两个随机信号的二阶统计量（有时取正，有时取负，平均意义上相互抵消）。互相关函数描述的是两个信号共同的部分（特征）。()()xyRτ+→随机信号＝不变部分均值变化部分包含直流分量直流分量交流分量（不感兴趣，多余）„互协方差函数„功率谱：协方差函数的Fourier变换2.2.两个随机信号的二阶统计量（续）两个随机信号的二阶统计量（续）{}*()[()][()]xyxyCExtmytmττ=−−−不含直流分量2()()0jfxyxyPfCedFourierπτττ∞−−∞=∫“零均值化”：均值不为的信号减去其均值注：一些书将“零均值化”信号的相关函数的变换定义为功率谱。„互相关系数„相干信号(coherent)——拷贝信号„相干积累：收集相干信号，以提高接收机信噪比(典型应用：RAKE接收机，雷达与无线通信)2.2.两个随机信号的二阶统计量（续）两个随机信号的二阶统计量（续）()()(0)(0)xyxyxxyyCCCτρτ=000()1()()()()()()()1cxyjxyxtytytCextytxtτρττρτΦ==−，有，则称和为相干信号，并且，即是的拷贝信号接近于，则称高相关信号若对某一滞后此时有注：若„统计独立：„统计不相关：„正交：,(,)()()XYXY3.3.两个随机信号的统计关系两个随机信号的统计关系fxyfxfy=()0,()()xyCxtytττ=∀若，则称和统计不相关。*(){()()}0,,()()()()xyRExtytxtytxtytτττ=−=∀⊥若则称随机信号与正交，记作。1.常数向量的正交(常数向量：元素为常量的向量)正交的几何解释正交的几何解释,cos,,Hθ==⋅xyxyxyxxyy夹角：,0H==xyxy正交：两常数向量夹角为90°2.函数向量的正交正交的几何解释正交的几何解释((续续))22()(),cos,,()()bHabbaattdttdttdtθ==∫∫∫xyxyxxyyxy夹角：,()()0bHattdt==∫xyxy正交：两函数向量夹角为90°3.随机向量的正交正交的几何解释正交的几何解释((续续)){}{}{}*22()()()()(),()cos(),()(),()()()xyExyxyxxyyExEyξξξξξξθξξξξξξ==两个随机变量和之间的夹角：{}*()()()()0xyExyξξξξ=称随机变量与正交，若正交的几何解释正交的几何解释((续续))[][]1212()(),(),()()(),(),()()()TmTnijxxxyyyxyξξξξξξξξξξ==xyLL两个随机向量和正交，系指任何一个随机变量都与另一个随机变量正交。{}()()HxymnEξξ×==Rxy0正交条件：（零矩阵）正交的物理意义正交的物理意义两个向量正交任何一个向量到另外一个向量的投影为零两个向量互不干扰1.在多址通信技术中的应用通信理论的基本结论：若多个用户的信号可以做到正交，则这些用户可共享一个发射媒介。ƒ时分多址(TDMA:time-divisionmultipleaccess):各个用户的信号波形在时域上无重叠正交(时域正交)正交的两个典型应用正交的两个典型应用*12()()0,bijaststdtij=∀≠∫用户和用户之间有一个保护时隙共享：整个频带ƒ频分多址(FDMA:frequency-divisionmultipleaccess):各个用户的信号波形在频域上无重叠频域正交正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))21*12()()0,FijFSfSfdfij=∀≠∫用户和用户之间有一个保护频隙共享：整个时区ƒ码分多址(CDMA:code-divisionmultipleaccess):各个用户的信号波形在时域和频域都有重叠，但信号之间正交正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))CDMA⎫⎬⎭扩频码之间正交直接序列共享：整个时区和频带CDMA跳频：在相同时区，各个用户的信号在频域不重叠正交2.离散Karhunen-Loeve变换正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))[]{}1211,,,,1,2,,0,THMxHHHiiMHiiijixxxEwiMwij−=====→=====≠∑xRxxwQxQQQqxxQwqqqwxLL零均值随机向量，自相关矩阵线性变换（为酉矩阵，）级数展开：（正交）目的：希望减少的系数个数，又能够重构原信号基向量正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续)){}{}{}{}{}{}1122112ˆ,1ˆmiiiMmiiimMMHHHmmmiiiiiiimimHHHHHHiiiiiiiixiwmMwEEEwEwwEwEE==+=+=+=≤≤=−======⋅==∑∑∑∑xqexxqeeqqqqqxqxxqqxxqqRq逼近：逼近误差：均方误差：由得：正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))111*minmin1()(1)()0LagrangeMHmixiimHiiMMHHiixiiiiimimixiiixiiiiiEJJλλλλ=+=+=+===+−∂=−=⇒=∂∑∑∑xqRqqqqqRqqqqRqqRqqqR优化问题：约束条件：拉格朗日乘子法：代价函数乘子和基向量必须分别选取为自相关矩阵的特征值iiλu和特征向量正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))111111ˆK-LˆmiiixKiiiMMMMHHHKixiijjjiiiKiKjiKwKMKwEλλ===+=+==+=−=⎛⎞===⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑∑xuRxuqRquuuu离散变换若只有个大特征值，其余个特征值可忽略，则此时，均方误差可达到昀小。正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))1ˆK-LKiiiw==∑xux结论：用逼近，可使逼近（信号重构）的均方误差昀小化，离散变换是原信号的昀优逼近。正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))[]1211111111,,,,,,,,,,,MHMxixKKHMKxxxMKKMxxKwwK====⇒∑RxxRuuUuuwUxLLLLL待发射信号：，求样本自相关矩阵特征值分解，确定大特征值个数，并存储个特征向量。令信号编码：个原数据个变换系数实际发射：发射个1,,KwwL系数即可利用离散K-L变换进行信号编码及解码正交的两个典型应用正交的两个典型应用((续续))1211ˆˆˆˆ,,,,,KiiMiKwxxxMKMK==∑xuuuLL接收端：利用重构信号（信号解码）发射端和接收端：必须有的信息压缩比：若，则可实现大压缩比的信号压缩信号编码、信号压缩：通信、图像等。统计相关的应用统计相关的应用1**()[]()()()()()()())KkkkkTkTkkrtAbistiTntrtstdtkrtstdtrtkst==−+∑∫∫00CDMA接收机接收信号：相关接收可提取用户的发射信号原理：相关运算可抽取接收信号与用户扩频信号(之间的共同部分。相干的应用相干的应用1221()()()()()()LiiiiiLkkztctztztctzt==′==∑∑无线通信中的多径信号为典型的相干信号加权系数选择：多径信号相干的应用相干的应用((续续))RAKE接收：将所有具有较大能量的信号收集起来，并相加。这是一个典型的相干积累，可提高信干噪比（因为总的信号能量增加）。4.4.信号变换信号变换2*{()}()()()()(),()0()0,()()()()kkkkkkkkkkExtxtCtCttxtxtkCxtgtdtgt∞=−∞∞−∞∞=ΦΦΦΦ==∀=∑∫有限能量信号：（平方可积信号）级数展开：展开系数；基本函数基函数应满足的条件：⑴线性独立⑵若，