(完整word版)2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)

第1页（共13页）2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用[]x表示不超过x的最大整数，例如[3.14]3，则201732017420175201762017720178[][][][][][]111111111111的值为．2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、2103和193，则原来给定的4个整数的和为．3．（10分）在33的网格中（每个格子是个11的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时．5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的27，是只参加朗诵小组人数的15，那么书法小组与朗诵小组的人数比是．6．（10分）如图，ABC的面积为100平方厘米，ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的中点，90MHB，已知20AB厘米，则MH的长度为厘米．7．（10分）一列数1a、2a，na，记()iSa为ia的所有数字之和，如(22)224S，若12017a，222a，12()()nnnaSaSa，那么2017a等于．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华第2页（共13页）罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．12．（10分）使3251nn不为最简分数的三位数n之和等于多少．三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月2I日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？14．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？第3页（共13页）2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用[]x表示不超过x的最大整数，例如[3.14]3，则201732017420175201762017720178[][][][][][]111111111111的值为6048．【分析】可以先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和．【解答】解：根据分析，原式为：201732017420175201762017720178[][][][][][]1111111111111592610[550][733][916][1100][1283][1466]1111111111115507339161100128314666048．故答案是6048．【点评】本题考查了高斯取整，本题突破点是：先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和．2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、2103和193，则原来给定的4个整数的和为20．【分析】根据题意，设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，则83abcd（1），123abdc（2），21033acdb（3），1933bcda（4），据此求出原来给定的4个整数的和是多少即可．【解答】解：设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，83abcd（1），123abdc（2），21033acdb（3），第4页（共13页）1933bcda（4），（1）（2）（3）（4），可得212()81210933abcd，所以20abcd，所以原来给定的4个整数的和为20．故答案为：20．【点评】此题主要考查了平均数问题，要熟练掌握，解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．3．（10分）在33的网格中（每个格子是个11的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．综上，共有：242210种不同摆放方法．【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法．4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B第5页（共13页）地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是64千米/小时．【分析】首先知道甲在2小时的路程是80千米，那么甲现在的速度和后来的速度都是可求的，再根据甲的时间和速度可求从B到C的路程，用路程除以乙的时间即是速度．【解答】解：甲在2小时走80千米，甲速为：80240（千米/时）；甲速度加速变成40280（千米/时）；甲再经过2小时路程为：280160（千米/时）乙路程共是160千米，时间是2.5小时，乙速为：1602.564（千米/时）故答案为：64【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，同时关键在求出BC之间的路程，隐含中知道乙的时间是2.5小时．问题解决．5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的27，是只参加朗诵小组人数的15，那么书法小组与朗诵小组的人数比是3:4．【分析】把两个小组都参加的人数看作单位“1”，则只参加书法小组人数的分率是27172，只参加朗诵小组人数的分率是1155，则参加书法小组人数的分率是79122，参加朗诵小组人数的分率是156，然后根据比的意义解答即可．【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，21(11):(11)759:623:4答：书法小组与朗诵小组的人数比是3:4．故答案为：3:4．【点评】本题关键是把中间量两个小组都参加的人数看作单位“1”，然后都统一到这个单位“1”就容易解答了．6．（10分）如图，ABC的面积为100平方厘米，ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的中点，90MHB，已知20AB厘米，则MH的长度为8.6厘米．第6页（共13页）【分析】可以利用面积公式分别求出ABC、ABD的高，而已知20AB厘米，再利用MH的中位线性质求出MH的长度．【解答】解：根据分析，过D，C分别作DEAB交AB于E，CFAB交AB于F，如图：ABD的面积11722022DEABDE，7.2DE厘米，ABC的面积111002022CFABCF，10CF厘米；又11()(7.210)8.622MHDECF厘米．故答案是：8.6．【点评】本题考查了三角形面积，本题突破点是：利用三角形面积公式先求出高，再利用中位线的关系求出MH的长．7．（10分）一列数1a、2a，na，记()iSa为ia的所有数字之和，如(22)224S，若12017a，222a，12()()nnnaSaSa，那么2017a等于10．【分析】首先要分析清楚()iSa的含义，即ia是一个自然数，()iSa表示ia的数字和，再根据na的递推式列出数据并找出规律．【解答】解：()iSa表示自然数ia的数字和，又12()()nnnaSaSa，在下表中列出1n，2，3，4，时的na和()nSa，nna()nSa12017102224第7页（共13页）314549951456145710186697710134111121266138814145151341699171341813419882012321112225523772412325101264427552899第8页（共13页）2914530145311013266由上表可以得出：4289aa，428()()9SaSa；52914aa，529()()5SaSa；可以得到规律：当4i…时，24iiaa，24()()iiSaSa，201732014，2014248322，所以：20173222510aaa．【点评】本题重点是弄清楚()iSa的含义，通过地推找到规律，再进行求解．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有4种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．综上，共有：1124种不同摆放方法．第9页（共13页）故答案是：4．【点评】本题考查排列组合，突破点是：分情况讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后求和．二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？【分析】按题意，可以分类讨论，最后确定n的取值．【解答】解：根据分析，0n，即5条直线互相平行；1n，即五条直线交于一点；2n，3，不存在；4n，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：n的取值共有9种不同的数，故答案是：9．第10页（共13页）【点评】本题