【2017年秋季课程人教版初一数学】第15讲—角的概念及计算-教案

第1页共14页角的概念及计算适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1、角的计算2、余角、补角3、方位角教学目标1、掌握角的两种定义形式和表示方法．2、认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．3、在具体情境中了解余角与补角．懂得等角的余角相等，等角的补角相等．教学重点认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．教学难点角的计算综合题解答第2页共14页教学过程一、课堂导入问题：观察时钟的两个指针及其它图形涂红色的部分所形成的图形，思考有什么共同的特点。二、复习预习直线射线线段的表示（1）直线、射线、线段的表示方法①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外.第3页共14页三、知识讲解考点1角（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．考点2钟面角（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．（3）钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：第4页共14页360°÷60=6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．考点3方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．考点4角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．第5页共14页考点5余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．四、例题精析例1【题干】上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为()A.90°B.100°C.105°D.120°【答案】C【解析】解：时针每分钟旋转°，分针每分钟旋转6°．在9时，时针和分针相差270°，时针在分针前，从9时到9时30分，时针共旋转30×=15°，分针共旋转30×6°=180°，则在9时30分，时针在分针前270°+15°-180°=105°．故选C．第6页共14页例2【题干】∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=()A.60°B.75°C.60°或15°D.70°或15°【答案】C解析】此题要分两种情况①∠AOB在∠BOC内部，②①∠AOB在∠BOC外部．解：如图1，∵∠AOB=45°，∴∠BOD=22.5°，∵∠BOC=75°，∴∠BOE=37.5°，∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°；如图2，∵∠AOB=45°，∴∠BOD=22.5°，∵∠BOC=75°，∴∠BOE=37.5°，∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°．第7页共14页故选：C例3【题干】如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!【答案】解：∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF是直角，∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°，∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°，即∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°，∴AO、OC成一直线（即A，O，C三点共线）．【解析】判断OA，OC是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是180°．例4【题干】如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，从A岛看B、C两岛的视角∠BAC=70°，那么A岛在C岛的什么方向上？第8页共14页【答案】解：由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，∴∠ABC=50°，∵∠BAC=70°，∴∠ACB=180°-50°-70°=60°，又∵DB∥EC，∴∠ECB=180°-∠DBC=100°，∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=100°-60°=40°．即A岛在C岛的北偏西40°方向．【解析】根据方位角的概念，结合三角形的内角和定理和平行线的性质求解．例5【题干】如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，求∠EOG的度数．【答案】解：设∠DOB=x，则其余角为：x，∴x+x=90°，解得：x=60°，根据∠AOE=2∠DOF，∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），∴3∠DOF=∠DOB=60°，故∠DOF=20°，∠BOF=40°，∵有OG⊥OA，∴∠EOG=90°-∠BOF=50°．故∠EOG的度数是50°．【解析】设∠DOB=x，则其余角为：x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，第9页共14页且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解．例6【题干】一个角比它的余角大18°22′46″，则这个角的补角的度数为()A.35°48′37″B.144°11′23″C.125°48′37″D.36°11′23″【答案】C【解析】解：设这个角为x，则x-（90°-x）=18°22′46″，解得x=54°11′23″，这个角的补角的度数为180°-54°11′23″=125°48′37″．故选：C五、课堂运用1、【题干】下列说法错误的是()A.角的大小与角的边的长短无关B.角的大小和它们的度数大小是一致的C.角的平分线是一条直线D.如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部第10页共14页【答案】C【解析】根据角的有关内容（角的大小和角的两边的长短无关，只和角的度数有关，角的平分线是从角的顶点出发的一条射线）判断即可．解：A、角的大小与角的边的长短无关，正确，故本选项错误；B、角的大小和它们的度数大小是一致的，正确，故本选项错误；C、角的平分线是从角的顶点出发的一条射线，错误，故本选项正确；D、如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部，正确，故本选项错误；故选C．2、如图，对图中各射线表示的方向下列判断错误的是（）．A．OA表示北偏东15°B．OB表示北偏西50°C．OC表示南偏东45°D．OD表示西南方向【答案】BA选项OA表示北偏东15°，故A正确；B选项OB表示北偏西40°，故B错误；C选项OC表示南偏东45°，故C正确；D选项OD表示西南方向，故D正确；第11页共14页故答案为B.3、如图，AOC和都是直角，如果150AOB，那么COD（）．A．30B．40C．50D．60【答案】A.【解析】解：∠DOC=90°+90°-∠AOB=180°-150°=30°.故答案为A.4、57.32=___________′______。【答案】57°19′12″.【分析】根据1°=60′，1′=60″，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案.【解答】解：57.32°=57°19′12″，故答案为：57°19′12″.5、已知∠与∠互余，且∠=35º18´，则∠=__________．【答案】54°42′.【解析】∵∠α与∠β互余，且∠α=35°18′∴∠β=90°-∠α=90°-35°18′=54°42′故答案为54°42′.6、如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如BODACBOD第12页共14页果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A.50°B.60°C.65°D.70°【答案】D.【解析】∵BO是∠AOC的角平分线，∠AOB=40°∴∠BOC=∠AOB=40°∵OD平分∠COE，∠COE=60°∴∠COD=12∠COE=30°∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+∠30°=70°故答案为D.7、（1）如图1所示，已知120AOB，OC平分AOB，OD、OE分别平分AOC、COB，求DOE的度数；（2）如图2，在（1）中把“OC平分AOB”改为“OC是AOB内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求DOE的度数；第13页共14页（3）如图3，在（1）中把“OC平分AOB”改为“OC是AOB外的一条射线且点C与点B在直线AO的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出DOE的度数．【答案】解题过程如下：解：（1）∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠COB=12∠AOB=60°，∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB，∴∠OCD=12∠AOC=30°，∠COE=12∠BOC=30°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=30°+30°=60°（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB，∴∠COD=12∠AOC，∠COE=12BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB=12×120°=60°（3）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB，∴∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∴∠DOE=∠DOC-∠COE=12∠AOC-12∠BOC=12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB=12×120°=60°.第14页共14页课程小结1.角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。2.角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示。3.平角、周角的定义：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终