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第五讲、数据分析一、数据的代表（一）、（1）平均数：一般地，如果有n个数,,,,21nxxx那么，)(121nxxxnx+++=叫做这n个数的平均数，x读作“x拔”。注：如果有n个数nxxx,,,21的平均数为x，则①naxaxax,,,21的平均数为ax；②bxbxbxn+++,,,21的平均数为x+b；③baxbaxbaxn+++,,,21的平均数为axb+。（2）加权平均数：如果n个数中，1x出现1f次，2x出现2f次，…，kx出现kf次（这里nfffk=++21），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为nfxfxfxxkk++=2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中kfff,,,21叫做权。（3）平均数的计算方法①定义法:当所给数据,,,,21nxxx比较分散时，一般选用定义公式：)(121nxxxnx+++=②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nfxfxfxxkk++=2211，其中nfffk=++21。③新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：axx+='。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，axx'11=，axx'22=，…，axxnn'=。)'''(1'21nxxxnx+++=是新数据的平均数（通常把,,,,21nxxx叫做原数据，,',,','21nxxx叫做新数据）。（4）算术平均数与加权平均数的区别与联系①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）。②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。（二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（注：不是唯一的，可存在多个）（三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。（注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n是奇数，则中位数是第21+n个；若n是偶数，则中位数处于第2n和第2n1+个的平均数；③中位数一般都是唯一的）二、数据的波动（一）极差：（1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。（2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。（二）方差：（1）概念：在一组数据,,,,21nxxx中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即])()()[(1222212xxxxxxnsn+++=（2）意义：衡量数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，数据的波动越稳定。注：如果有n个数nxxx,,,21的方差为2s，则①naxaxax,,,21的方差为2a2s；②bxbxbxn+++,,,21的方差为2s；③baxbaxbaxn+++,,,21的方差为2a2s。（三）方差的计算（1）基本公式：])()()[(1222212xxxxxxnsn+++=（2）简化计算公式（Ⅰ）：])[(12222212xnxxxnsn+++=也可写成2222212)][(1xxxxnsn+++=此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。（3）简化计算公式（Ⅱ）:]')'''[(12222212xnxxxnsn+++=当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据axx'11=，axx'22=，…，axxnn'=，那么，2222212')]'''[(1xxxxnsn+++=此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。（4）新数据法：原数据,,,,21nxxx的方差与新数据axx'11=，axx'22=，…，axxnn'=的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得,',,','21nxxx的方差就等于原数据的方差。（四）方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即])()()[(1222212xxxxxxnssn+++==三、统计学中的几个基本概念1、总体:所有考察对象的全体叫做总体。2、个体:总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量。5、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。