13考研数学数学二试题答案

2008年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()(1)(2)fxxxx，则()fx的零点个数为【】．(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(D).【详解】322()434(434)fxxxxxxx．令()0fx，可得()fx有三个零点．故应选(D).(2)曲线方程为()yfx，函数在区间[0,]a上有连续导数，则定积分0()axfxdx在几何上表示【】．(A)曲边梯形ABCD的面积．(B)梯形ABCD的面积．(C)曲边三角形ACD面积．(D)三角形ACD面积．【答案】应选(C).【详解】'000()()()()aaaxfxdxxdfxafafxdx，其中()afa是矩形面积，0()afxdx为曲边梯形的面积，所以'0()axfxdx为曲边三角形ACD的面积．故应选(C).(3)在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意的常数）为通解的是【】．(A)440yyyy.(B)440yyyy.(C)440yyyy.(D)440yyyy.【答案】应选(D).【详解】由123cos2sin2xyCeCxCx，可知其特征根为11，2,32i，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)ii324432444所以所求微分方程为440yyyy．应选(D).(4)判定函数ln()|1|xfxx，(0)x间断点的情况【】．(A)有一个可去间断点，一个跳跃间断点．(B)有一跳跃间断点，一个无穷间断点．(C)有两个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.【答案】应选(A).(5)设函数()fx在(,)内单调有界，{}nx为数列，下列命题正确的是【】．(A)若{}nx收敛，则{()}nfx收敛(B)若{}nx单调，则{()}nfx收敛(C)若{()}nfx收敛，则{}nx收敛.(D)若{()}nfx单调，则{}nx收敛.【答案】应选(B).【详解】若若{}nx单调，则由函数()fx在(,)内单调有界知，若{()}nfx单调有界，因此若{()}nfx收敛．故应选(B).(6)设函数()fx连续，221xy，222,1xyuu，若2222()(,)DfuvFuvdudvuv，则Fu【】．(A)2()vfu(B)()vfu(C)2()vfuu(D)()vfuu【答案】应选(A).【详解】利用极坐标，得222222011()()(,)()vuuDfuvfrFuvdudvdvrdrvfrdrruv，所以Fu2()vfu．故应选(A).(7)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若30A，则下列结论正确的是【】．(A)EA不可逆，则EA不可逆.(B)EA不可逆，则EA可逆.(C)EA可逆，则EA可逆.(D)EA可逆，则EA不可逆.【答案】应选(C).【详解】23()()EAEAAEAE，23()()EAEAAEAE．故EA，EA均可逆．故应选(C).(8)设1221A，则在实数域上，与A合同矩阵为【】．(A)2112.(B)2112.(C)2112.(D)1221.【答案】应选(D).【详解】2212(1)423(1)(3)021EA则121,3，记1221D，则2212(1)423(1)(3)021ED则121,3，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)(9)已知函数()fx连续，且01cos[()]lim1(1)()xxxfxefx，则(0)f【答案】应填2．(10)微分方程2()0xyxedxxdy的通解是.【答案】应填()xyxCe．(11)曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)的切线方程为.【答案】应填1yx．【详解】(12)曲线23(5)yxx的拐点坐标为.【答案】(1,6)．【详解】(13)设xyyzx，则(1,2)zx.【答案】2(ln21)2．(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,．若行列式|2|48A，则___________.【答案】应填1．三、解答题(15－23小题，共94分)．(15)(本题满分9分)求极限40sinsin(sin)sinlimxxxxx．【详解1】40sinsin(sin)sinlimxxxxx30sinsin(sin)limxxxx＝20coscos(sin)coslim3xxxxx201cos(sin)lim3xxx0sin(sin)coslim6xxxx(或2201(sin)2lim3xxx，或22201sin(sin)2lim3xxoxx)16．【详解2】40sinsin(sin)sinlimxxxxx40sinsin(sin)sinlimsinxxxxx＝30sinlimtttt201coslim3ttt2202lim3ttt（或0sinlim6ttt）16．(16)(本题满分10分)设函数()yyx由参数方程20()ln(1)txxtyudu确定，其中()xxt是初值问题0200xtdxtedtx的解，求22dydx．【详解1】由20xdxtedt得2xedxtdt，积分得2xetC．由条件00tx，得1C，即21xet，故2ln(1)xt．方程组220ln(1)ln(1)txtyudu两端同时对t求导得22212ln(1)dxtdttdyttdt．所以22(1)ln(1)dydydtttdxdxdt，从而222222(1)ln(1)(1)ln(1)dttdttdydtdxdxdxdt22222ln(1)2(1)[ln(1)1]21ttttttt．17（本题满分9分）计算2120arcsin1xxdxx．【详解1】由于221arcsinlim1xxxx，故2120arcsin1xxdxx是反常积分．令arcsinxt，有sinxt，[0,)2t．212222000arcsincos2sin()221xxttdxttdtdtx222001sin244ttdt22200sin21sin21644tttdt2201cos2168t21164．【详解2】21122200arcsin1(arcsin)21xxdxxdxx21222001(arcsin)(arcsin)2xxxxdx2120(arcsin)8xxdx令arcsinxt，有sinxt，[0,)2t．1222001(arcsin)sin22xxdxttdt222001(cos22cos2)4ttttdt21164，所以22120arcsin11641xxdxx．(18)(本题满分11分)计算max{,1}Dxydxdy，其中(,),02,02Dxyxy．【详解】将区域D分成如图所示得两个子区域12,DD和3D．于是123max{,1}max{,1}max{,1}max{,1}DDDDxydxdyxydxdyxydxdyxydxdy12311DDDxydxdydxdydxdy112222211100022xxdxxydydxdydxdy1519ln212ln2ln244．(19)(本题满分11分)设()fx是区间[0,)上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f．对任意的[0,)t，直线0,xxt，曲线()yfx以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()fx的表达式．【详解】根据题意，因为旋转体体积20()tVfxdx，侧面积202()1()tSfxfxdx．所以22002()2()1()ttfxdxfxfxdx．上式两边同时对t求导得22()()1()ftftft．解得21ln(1)yytC，21tyyCe．由(0)1y，得1C．所以21tyye或1()()2ttyfxee．(20)(本题满分11分)(I)证明积分中值定理：若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则至少存在一点[,]ab，使得()()()bafxdxfba；(II)若函数()x具有二阶导数，且满足(2)(1)，32(2)()xdx，则至少存在一点(1,3)，使得()0．【证法1】若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则必存在最大值M和最小值m．即()mfxM，[,]xab于是有()()()bambafxdxMba．即1()bamfxdxMba根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]ab上至少存在一点[,]ab，使得1()()baffxdxba因此而的证．（II）存在[2,3]，使得32()()xdx．由32(2)()()xdx，知(2,3]．由(2)(1)，利用微分中值定理，存在1(1,2)，使得1(2)(1)()021．由(2)()，利用微分中值定理，存在2(2,)，使得2()(2)()02．存在存在12(,)(1,3)，使得2121()()()0．（21）(本题满分11分)求函数222uxyz在约束条件22zxy和4xyz下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数22222(,,)()(4)Fxyzxyzxyzxyz．令2222022020040xyzFxxFyyFzxyzxyz解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),xyzxyz故所求得最大值为72,最小值为6．【详解2】由题意知，4422222uxyxyxy在条件224xyxy下的最值．令323222442(12)0442(12)040xyFxxyxxFyxyyyxyxy2222022020040xyzFxxFyyFzxyzxyz解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),xyzxyz故所求得最大值为72,最小值为6．(22)(本题满分12分)．设n元线性方程组Axb，其中2222212121212aaaaaAaaaa，12nxxxx，12nbbbb．（I）证明行列式||(1)nA