17考研数学高等数学

第1讲品味数学思想,走进考研数学第1讲品味数学思想,走进考研数学清代诗人袁枚在《随园诗话》里写到:“学如箭镞,才如弓弩,识以领之,方能中鹄”.意思是说:有知识,没有能力,就像只有箭,没有弓,是发射不出去的;但是有了箭与弓,还得有思想、见识.这段话给我们以启示:与知识相比,能力更为重要,而能力的培养,离不开对思想的品味.即将进入考研复习的考生朋友们,大家一定不能将数学学习完全沉浸在背公式、套题型、搞技巧的海洋中,即使我们将要面对的是一场竞争激烈、以应试为主题的游戏,也绝不妨碍我们在这场游戏中去感受、鉴赏、甚至把玩精妙的数学思想.也许你会惊喜地发现,在与数学思想亲密接触的过程中,你会不知不觉爱上数学.在本讲中,我们给出考研数学中常用的一些数学思想方法,供考生阅读,在今后的复习过程中,要注重数学思想方法的思考和总结,这对提高我们的数学素养,在考研中取得好成绩,大有裨益.一、特殊与一般的思想从特殊到一般,由一般到特殊,是人类认识世界、了解世界的一个普遍规律,也是人们认识数学、了解数学的方法.相对于一般而言,特殊的事物往往显得简单、直观和具体,遇到一个复杂问题,可以先从其特殊性出发,去简化某个问题,另一方面,由于一般比特殊更能反映事物的本质,要想给出一个问题的完整解答,往往需要把问题放在更为一般的情况下去研究.在高等数学这门课中,很多概念之间、定理之间体现着特殊与一般的辩证关系,比如数列与函数,比如中值定理中的罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.学过这些知识后不难发现,前者是后者的特殊形式,后者是前者的一般呈现.下面通过分析等价无穷小与泰勒公式之间的关系,来详细阐述特殊与一般的数学思想并付诸考研题中.在极限的计算中,似乎有如下结论:等价无穷小替换只能用在乘除法,而不能使用加减法.于是,下面的解法是错误的:limx→0x-sinxx3=limx→0x-xx3=0可是,考生们有没有接着思考:①当x→0时,x-sinx中,sinx为什么不能用x代换?②当x→0时,x-sinx到底等价与什么?先看公式:当x→0,sinx~x(1)sinx=x-13!x3+15!x5-17!x7+…+(-1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+1)(2)在(2)式中,若n=0时,则成为sinx=x+o(x),从而可以得出sinx~x(等价无穷小的定义).同理,若n=1时,(2)式可以变为sinx=x-13!x3+o(x3),立即可得x-sinx=—1—考研数学高等数学18讲16x3+o(x3),从而可以得到:x-sinx~16x3.这是考研数学特别爱考的一个等价无穷小,在刚刚结束的2012年考研中又考到了.在本书后面的内容中,会详细讲到.由上述分析可以得到:等价无穷小是泰勒公式的特殊形式,泰勒公式是等价无穷小的一般情况.当然,特殊与一般在数学命题上还存在着如下关系:若命题P在一般情况下为真,则在特殊情况下P也真,我们把这种关系叫做关系A;A的逆否命题为:若命题P在特殊条件下为假,则在一般条件下P也为假,我们把这种关系叫做关系B.关系A和关系B对应着在做选择题时的特例和反例.下面我们选了几道历年的考研试题,你能用特例和反例快速地解出吗?1.设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导,且f(x)g(x),则必有()(A)f(-x)g(-x)(B)f′(x)g′(x)(C)limx→x0f(x)limx→x0g(x)(D)∫x0f(t)dt∫x0g(t)dt2.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续且f(0)=0,limx→0f(x)1-cosx=2,则在点x=0处f(x)()(A)不可导(B)可导且f′(0)≠0(C)取得极小值(D)取得极大值3.设区域D=(x,y)x2+y2≤4,x≥0,y≥{}0,f(x)为D上的正值连续函数,a,b为常数,则∬Daf(x)+bf(y)f(x)+f(y)dσ=()(A)abπ(B)ab2π(C)a+b2π(D)(a+b)π4.设A,B,A+B,A-1+B-1均为n阶可逆矩阵,则(A-1+B-1)-1=()(A)A-1+B-1(B)A+B(C)A(A+B)-1B(D)(A+B)-15.设A,B,C均为n阶矩阵;若B=E+AB,C=A+AC,则B-C为()(A)E(B)-E(C)A(D)-A6.设f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f″(x)0,令un=f(n),(n=1,2,3,…),则下列结论正确的是()(A)u1u2,则u{}n必收敛(B)u1u2,则u{}n必发散(C)u1u2,则u{}n必收敛(D)u1u2,则u{}n必发散以上6题答案分别为(C),(C),(C),(C),(A),(D).看看自己能做对几道?解答如下:1.设f(x)=1,g(x)=2,立即可以排除(A),(B),(D).((D)选项错误的原因是x不一定大于0).2.设f(x)=2(1-cosx),则在点x=0处取得极小值.3.设f(x)=1,则∬Daf(x)+bf(y)f(x)+f(y)dσ=∬Da+b2dσ=a+b2×14π×4=a+b2π.4.令A=1,B=2,则(A-1+B-1)-1=1+æèçöø÷12-1=23,而A中A-1+B-1=1+12=—2—第1讲品味数学思想,走进考研数学32,B中A+B=3,C中A(A+B)-1B=1×13×2=23,D中(A+B)-1=13.5.令A=0,则C=0,B=E,则B-C=E.6.令f(x)=x2,则u1=1,u2=4,u1u3,当n→∞,un=n2→+∞,可得{un}发散,排除(C).令f(x)=1x,则u1=1,u2=12,u1u2,当n→∞,un=1n→0,可得{un}收敛,排除(B).令f(x)=1x-x,则u1=0,u2=-32,u1u2,当n→∞,un=1n-æèçöø÷n→-∞,可得{un}发散,排除(A).二、等价转化的思想将题目所给的某种陌生的问题形式,等价转化为我们所熟知的另一种问题形式,这是考研数学中普遍且重要的数学思想.有一个故事说:一位数学老师,不想继续从事教师工作,想改行去做一名消防员,于是前去面试.面试官问的第一个问题是:假如楼道起火怎么办?这位数学老师说:如果楼道起火,我就把灭火器打开,如何如何灭火,如何如何疏散人群,阐述得井井有条,非常专业.于是,面试官又问了他第二个问题:假如楼道没有起火怎么办?这位数学老师稍作思考,给出了一个很雷人的答案:假如没有起火,我就把火点起来!面试官很惊讶地问他原因,数学老师答:这样我就把这个问题转化为我所熟悉的问题了!看起来这是个笑话,但是却道出了重要的数学思想.其基本思维过程如下:从上图可以看出,解答数学问题的关键在于问题A→问题B,这也就是通常我们所说的等价转化(恒等变形)的方法.这些方法主要有三个方面:A.在已知表达式中进行恒等的代数计算(即加项、减项抑或是同乘同除某因子).例如:1.求I=limx→01-cosxcos2x3cos3xx2.此题虽然为“00”的未定型,但若直接使用洛必达法则会发现计算量很大.那应该怎么处理所求极限呢?试想一下,如果求下列极限:I1=limx→01-cosxx2,I2=limx→01-cos2xx2,I3=limx→01-3cos3xx2,很多同学会做,I1=12,I2=limx→01-cos2xx2(1+cos2x)=12·4x22x2=1,I3=limx→01-cos3xx2(1+3cos3x+3cos23x)=limx→012·9x23x2=32(当然I3的计算也可以直接—3—考研数学高等数学18讲使用等价无穷小替换),那么怎么实现I1,I2,I3转变呢?要做这样的处理:I=limx→01-cosx+cosx-cosxcos2x+cosxcos2x-cosxcos2x3cos3xx2=limx→01-cosxx2+limx→0cosx(1-cos2x)x2+limx→0cosxcos2x(1-3cos3x)x2=12+1+32=3.2.微分方程y′+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=.这是一道一阶线性非齐次微分方程求解的问题.若直接代公式,计算量有点大,但若在原方程左右两边同乘ex,原方程可化为:y′ex+yex=cosx⇒(yex)′=cosx立即可得yex=-sinx+c,把y(0)=0代入得c=0.B.根据题中的条件要作变量替换,即通常讲的换元法.在高等数学中很多重要概念常常需要整体替换.例如导数的定义f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,在题中经常以f′(x0)=limg(Δx)→0f(x0+g(Δx))-f(x0)g(Δx)出现.求极限时有时需要倒代换,求不定积分的换元积分法,书中后续内有详细的阐述,这里不再重复.C.在常见的恒等变形中,如果说前面所述的中学阶段就有所接触,那么,下面所讲的就只有高等数学才涉及.可以对一个函数先求导后积分,抑或是先积分后求导.这里所讲的内容是指对幂级数求和及求函数展开幂级数.(具体内容见本书12.4.5)三、逆向思维逆向思维,指的是让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入探索,即“反其道而行之”.在处理有关数学问题时,从求解回到已知条件,有时会得出一系列新的理论.无论是在生活科研上,甚至是文学作品,逆向思维的例子比比皆是.“司马光砸缸”的故事中,有人落水,常规的思维模式是“救人离水”,司马光运用逆向思维,“让水离人”.法拉第1831年提出了著名的电磁感应定律是受到了电能够产生磁的启发,从而萌生了磁是否能产生电的想法.文学作品中,马致远的《天净沙·秋思》:枯藤老树昏鸦,小桥流水人家,古道西风瘦马.夕阳西下,断肠人在天涯.这首曲一反前人的创作手法,全词只是景物的罗列,但又恰到好处,不由得令人耳目一新、余音袅袅.同样,逆向思维在数学中也有广泛的应用.就运算而言,求导与求不定积分就是一种互逆的计算.第一换元积分法公式实质是复合函数求导公式的逆用.若∫f(u)du=F(u)+C,则∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(φ(x))dφ(x)变量替换φ(x)=—————u∫f(u)du=F(u)+C—————变量还换F(φ(x))+C就命题而言,指的是逆否命题的探讨,比如,罗尔定理推论的逆否命题为研究方程根的一个很好的工具,其内容为:若方程f(n)(x)=0在(a,b)内没有实根,则方程f(x)=0在(a,b)上最多只有n个实根.例如:设a≠0,证ex=ax2+bx+c的根不超过三个.设f(x)=ex-ax2-bx-c,由于f′″(x)=ex≠0,立即可得结论.—4—第1讲品味数学思想,走进考研数学就证明题而言,有关涉及中值定理的证明构造辅助函数,利用单调性去证明不等式都是逆向思维的应用.四、建模思想考试大纲要求的五种能力之一为:综合运用所学知识解决实际问题的能力.这主要指的是针对应用题要转为相应的数学理论来处理.这里不对这个问题进行讨论.众所周知,数学是其他学科的基础,经常把一些数学思想运用到其他学科后有重大理论的出现,经典的有把博弈论运用到经济学,矩阵运用到量子力学等.但反过来,其实有的数学问题,如果建立起其对应的物理模型,会给人一种柳暗花明之感.很多同学最熟悉的也许是德摩根定理(A∩B=A∪B,A∪B=A∩B).若构造两个直流电路图,前者为串联,后者为并联.让我们理解既直观又易懂.接下来我们举个典型的例子:【例1.1】设f(x)处处可导,其中有两个这样的选项:(A)limx→+∞f(x)=+∞,必有limx→+∞f′(x)=+∞(B)limx→+∞f′(x)=+∞,必有limx→+∞f(x)=+∞如果用纯数学理论去判断,需要使用拉格朗日中值定理.由limx→+∞f′(x)=+∞,∃X0,当xX时,f′(x)M(M为任意大正数),在X,[]x上使用拉格朗日中值定理有f(x)-f(X)=f′(ξ)(x-X),其中ξ∈(X,x),则f(x)-f(X)=f′(ξ)(x-X)M(x-X)→+∞,故f(x)-f(X)→+∞,而f(X)为确定值,从而f(x)→+∞.这样处理在考场